Ache os valores de x para os quais a Série sumn=1^infty(-1)^n+1 (x-2)^nn é condicionalmente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Tamo aqui pra resolver um exercício sobre séries numéricas. O enunciado pede pra gente achar os valores de para os quais a série é condicionalmente convergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre convergência de séries e a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma série é condicionalmente convergente quando ela converge, mas a série dos valores absolutos dela não converge. Ou seja, para essa série específica, isso significa que converge, mas não converge.

Passo 3

Vamos começar analisando a convergência da série original. Note que ela é uma série alternada, pois os termos mudam de sinal devido ao fator . Para verificar a convergência de séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada de Leibniz, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero quando vai para infinito, então a série converge.

Passo 4

Vamos ver se os termos são decrescentes e tendem a zero. Para isso:
  1. Limite dos termos: se , porque uma potência de base menor que 1 tende a zero.
  2. Termos decrescentes: Se , então decresce conforme aumenta, e como dividimos por , a sequência dos termos também é decrescente.
Portanto, a série original converge para .

Passo 5

Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série, ou seja, se converge.
Conhecemos essa série como a série harmônica generalizada, que converge se e diverge se . Mas, na verdade, para , a série é a série harmônica, que diverge.

Passo 6

Recapitulando:
  • Série original converge se .
  • Série dos valores absolutos converge se e diverge se .
Então, para a série ser condicionalmente convergente, ela precisa convergir, mas a série dos valores absolutos não converger. Isso acontece quando a série original converge, mas .

Passo 7

Vamos resolver a desigualdade |x-2| >= 1 implies x-2 >= 1 ou x-2 <= -1 :
implies x >= 3 ou x <= 1

Passo 8

Mas lembremos que a série original converge somente se . Ou seja, para ou , a série original não converge, então não podemos ter convergência condicional nesses casos.
Na verdade, a série só converge absolutamente para , e não há valores de onde ela seja condicionalmente convergente.

Resposta

Não existem valores de para os quais a série seja condicionalmente convergente.

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