Ache os valores de para os quais a Série é condicionalmente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Tamo aqui pra resolver um exercício sobre séries numéricas. O enunciado pede pra gente achar os valores de para os quais a série é condicionalmente convergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre convergência de séries e a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma série é condicionalmente convergente quando ela converge, mas a série dos valores absolutos dela não converge. Ou seja, para essa série específica, isso significa que converge, mas não converge.
Passo 3
Vamos começar analisando a convergência da série original. Note que ela é uma série alternada, pois os termos mudam de sinal devido ao fator . Para verificar a convergência de séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada de Leibniz, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero quando vai para infinito, então a série converge.
Passo 4
Vamos ver se os termos são decrescentes e tendem a zero. Para isso:
Limite dos termos: se , porque uma potência de base menor que 1 tende a zero.
Termos decrescentes: Se , então decresce conforme aumenta, e como dividimos por , a sequência dos termos também é decrescente.
Portanto, a série original converge para .
Passo 5
Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série, ou seja, se converge.
Conhecemos essa série como a série harmônica generalizada, que converge se e diverge se . Mas, na verdade, para , a série é a série harmônica, que diverge.
Passo 6
Recapitulando:
Série original converge se .
Série dos valores absolutos converge se e diverge se .
Então, para a série ser condicionalmente convergente, ela precisa convergir, mas a série dos valores absolutos não converger. Isso acontece quando a série original converge, mas .
Passo 7
Vamos resolver a desigualdade |x-2| >= 1 implies x-2 >= 1 ou x-2 <= -1 :
implies x >= 3 ou x <= 1
Passo 8
Mas lembremos que a série original converge somente se . Ou seja, para ou , a série original não converge, então não podemos ter convergência condicional nesses casos.
Na verdade, a série só converge absolutamente para , e não há valores de onde ela seja condicionalmente convergente.
Resposta
Não existem valores de para os quais a série seja condicionalmente convergente.