Usando derivação implícita, calcule a derivada
.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada
usando derivação implícita na equação
. Isso envolve cálculo de derivadas de funções que estão misturadas de forma que
depende de
. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da derivação implícita, que é útil quando
não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos calcular a derivada de
e a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar com o lado esquerdo:
. A derivada de
em relação a
é
. Isso porque, pela regra da cadeia, derivamos a função exponencial
e depois multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito:
. A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é
. Então, a derivada total do lado direito é
.
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 6
Queremos isolar
. Vamos trazer todos os termos que contêm
para um lado da equação:
Passo 7
Fatoramos
do lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada
é igual a
.