Use a série geométrica , para mostrar que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a série geométrica, que é quando , para mostrar que . Então, vamos precisar entender séries geométricas e como integrá-las para chegar nessa expressão que envolve um logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série geométrica básica é para . Essa fórmula nos dá uma soma infinita de potências de .

Passo 3

Agora, para chegar a uma série que tenha o termo , que está presente na nossa série alvo, a gente pode integrar a série geométrica termo a termo. Isso porque a integral de em relação a envolve , que traz o termo .

Passo 4

Então, vamos integrar a série geométrica de 0 a :
Isso resulta em:
Aqui, usamos o fato de que a integral de é .

Passo 5

Agora, vamos ajustar essa expressão para que ela combine com a série que temos no exercício. Observe que:
Se a gente quiser uma série com termos alternados, podemos substituir por :
Essa é a série que representa o logaritmo natural de .

Passo 6

Vamos agora aplicar essa última fórmula ao nosso problema. Na série que queremos provar, temos , que pode ser reescrito como . Portanto, substituindo por na nossa fórmula:

Resposta

Assim, mostramos que .

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