Use a série geométrica
, para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a série geométrica, que é
quando
, para mostrar que
. Então, vamos precisar entender séries geométricas e como integrá-las para chegar nessa expressão que envolve um logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série geométrica básica é
para
. Essa fórmula nos dá uma soma infinita de potências de
.
Passo 3
Agora, para chegar a uma série que tenha o termo
, que está presente na nossa série alvo, a gente pode integrar a série geométrica termo a termo. Isso porque a integral de
em relação a
envolve
, que traz o termo
.
Passo 4
Então, vamos integrar a série geométrica de 0 a
:
Isso resulta em:
Aqui, usamos o fato de que a integral de
é
.
Passo 5
Agora, vamos ajustar essa expressão para que ela combine com a série que temos no exercício. Observe que:
Se a gente quiser uma série com termos alternados, podemos substituir
por
:
Essa é a série que representa o logaritmo natural de
.
Passo 6
Vamos agora aplicar essa última fórmula ao nosso problema. Na série que queremos provar, temos
, que pode ser reescrito como
. Portanto, substituindo
por
na nossa fórmula:
Resposta
Assim, mostramos que
.
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