Ache
.
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar o valor de
para quatro funções diferentes. Isso envolve analisar cada função dentro de um intervalo específico de
e um valor fixo de
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar os valores máximos ou mínimos das funções nos intervalos dados.
Passo 2
a)
, onde
e
Primeiro, vamos substituir
na função:
Agora, precisamos encontrar o valor máximo dessa função no intervalo
. Para isso, vamos derivar a função e encontrar os pontos críticos.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
não está no intervalo
, precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo para encontrar o valor máximo.
Passo 4
Calculando
nos pontos
e
:
Para
:
Para
:
Como o valor máximo ocorre em
, temos
para a parte a).
Passo 5
b)
, onde
e
Vamos substituir
na função:
Queremos encontrar o valor máximo de
no intervalo
.
Passo 6
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero:
Como
não está no intervalo
, avaliamos a função nos extremos.
Passo 7
Calculando
nos pontos
e
:
Para
:
Para
:
O valor máximo ocorre em
, então
para a parte b).
Passo 8
c)
, onde
e
Substituindo
na função:
Precisamos encontrar o valor máximo dessa função no intervalo
.
Passo 9
Observando a função
, notamos que o denominador nunca é zero no intervalo
. Vamos calcular a derivada para encontrar pontos críticos.
Calculando a derivada de
em relação a
:
A derivada é sempre negativa, o que significa que a função está sempre decrescendo no intervalo.
Passo 10
Como a função está sempre decrescendo, o valor máximo ocorre no menor valor de
, que é
:
O valor mínimo ocorre em
:
Assim, o valor máximo da função no intervalo é 0, então
para a parte c).
Passo 11
d)
, onde
e
Vamos substituir
na função:
Precisamos encontrar o valor máximo de
no intervalo
.
Passo 12
Calculando a derivada de
em relação a
:
A derivada é sempre positiva no intervalo
, o que significa que a função está sempre aumentando.
Passo 13
Como a função está sempre aumentando, o valor máximo ocorre no maior valor de
, que é
:
Então,
para a parte d).
Resposta
a)
b)
c)
d)
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(j) Seja , calcule
e
.
(j) Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(f) Seja , calcule
e
.
(f) Seja
Dê um contraexemplo de que uma função pode ser contínua em um ponto, mas não derivável neste ponto. (feito em sala de aula)
Suponha que a trajetória de uma partícula
seja dada por
e que a trajetória de uma partícula
seja dada por
.
Obtenha o vetor velocidade da partícula no instante
, isto é, obtenha
.
Obtenha o vetor velocidade da partícula