Ache varepsilon1.
& a) f(x, y)=x^2+3 x y-y^2, x in[1,3] ; y=4 & b) f(x, y)=x^3-y^2, x in[2,6] ; y=3 & c) f(x, y)=4 xx+y, x in[0,4] ; y=-6 & d) f(x, y)=2 x-y2 y+x, x in[-3,3] ; y=5

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar o valor de para quatro funções diferentes. Isso envolve analisar cada função dentro de um intervalo específico de e um valor fixo de . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar os valores máximos ou mínimos das funções nos intervalos dados.

Passo 2

a) f(x, 4) = x^2 + 3x cdot 4 - 4^2 = x^2 + 12x - 16 , onde e
Primeiro, vamos substituir na função:
Agora, precisamos encontrar o valor máximo dessa função no intervalo . Para isso, vamos derivar a função e encontrar os pontos críticos.

Passo 3

Calculando a derivada de f'(x) = 2x + 12 em relação a 2x + 12 = 0 Rightarrow x = -6 :
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como não está no intervalo , precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo para encontrar o valor máximo.

Passo 4

Calculando f(1,4) = 1^2 + 12 cdot 1 - 16 = 1 + 12 - 16 = -3 nos pontos f(3,4) = 3^2 + 12 cdot 3 - 16 = 9 + 36 - 16 = 29 e :
Para :
Para :
Como o valor máximo ocorre em , temos para a parte a).

Passo 5

b) f(x, 3) = x^3 - 3^2 = x^3 - 9 , onde e
Vamos substituir na função:
Queremos encontrar o valor máximo de no intervalo .

Passo 6

Calculando a derivada de f'(x) = 3x^2 em relação a 3x^2 = 0 Rightarrow x = 0 :
Igualando a derivada a zero:
Como não está no intervalo , avaliamos a função nos extremos.

Passo 7

Calculando f(2,3) = 2^3 - 9 = 8 - 9 = -1 nos pontos f(6,3) = 6^3 - 9 = 216 - 9 = 207 e :
Para :
Para :
O valor máximo ocorre em , então para a parte b).

Passo 8

c) f(x, -6) = 4xx - 6 , onde e
Substituindo na função:
Precisamos encontrar o valor máximo dessa função no intervalo .

Passo 9

Observando a função f'(x) = 4(x - 6) - 4x(x - 6)^2 = 4x - 24 - 4x(x - 6)^2 = -24(x - 6)^2 , notamos que o denominador nunca é zero no intervalo . Vamos calcular a derivada para encontrar pontos críticos.
Calculando a derivada de em relação a :
A derivada é sempre negativa, o que significa que a função está sempre decrescendo no intervalo.

Passo 10

Como a função está sempre decrescendo, o valor máximo ocorre no menor valor de f(0,-6) = 4 cdot 00 - 6 = 0 , que é f(4,-6) = 164 - 6 = 16-2 = -8 :
O valor mínimo ocorre em :
Assim, o valor máximo da função no intervalo é 0, então para a parte c).

Passo 11

d) f(x,5) = 2x - 510 + x , onde e
Vamos substituir na função:
Precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo .

Passo 12

Calculando a derivada de f'(x) = (2)(10 + x) - (2x - 5)(1)(10 + x)^2 = 20 + 2x - 2x + 5(10 + x)^2 = 25(10 + x)^2 em relação a :
A derivada é sempre positiva no intervalo , o que significa que a função está sempre aumentando.

Passo 13

Como a função está sempre aumentando, o valor máximo ocorre no maior valor de f(3,5) = 2 cdot 3 - 510 + 3 = 6 - 513 = 113 approx 0,0769 , que é :
Então, para a parte d).

Resposta

a)
b)
c)
d)

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