Dê um contraexemplo de que uma função pode ser contínua em um ponto, mas não derivável neste ponto. (feito em sala de aula)
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos dar um exemplo de uma função que seja contínua em um determinado ponto, mas que não seja derivável nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua e derivável em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando a variável se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto. Isso significa que não há “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre derivabilidade. Uma função é derivável em um ponto se ela tem uma reta tangente bem definida naquele ponto, ou seja, o limite da razão de variação da função existe nesse ponto. Se a função tiver uma “cusp” ou um “canto” no gráfico, ela não será derivável ali.
Passo 4
Para encontrar um contraexemplo, precisamos de uma função que seja contínua, mas que tenha um “canto” no ponto em questão. Uma função clássica que atende a esses critérios é a função valor absoluto, definida por:
Passo 5
Vamos verificar isso no ponto
:
- Continuidade: Calculamos o limite de
quando se aproxima de 0:
E como
, a função é contínua em 0.
- Derivabilidade: Calculamos a derivada usando o limite:
Para
,
, e para
,
. Como os limites laterais são diferentes, a derivada em 0 não existe.
Resposta
Um exemplo de função contínua em 0, mas não derivável em 0, é
.
Exercícios relacionados
Ache
.
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(j) Seja , calcule
e
.
(j) Seja
Suponha que a trajetória de uma partícula
seja dada por
e que a trajetória de uma partícula
seja dada por
.
Obtenha o vetor velocidade da partícula no instante
, isto é, obtenha
.
Obtenha o vetor velocidade da partícula
Suponha que a trajetória de uma partícula
seja dada por
e que a trajetória de uma partícula
seja dada por
.
As trajetórias das duas partículas se encontram? As duas partículas colidem?
As trajetórias das duas partículas se encontram? As duas partículas colidem?