Suponha que a trajetória de uma partícula
seja dada por
e que a trajetória de uma partícula
seja dada por
.
Obtenha o vetor velocidade da partícula
no instante
, isto é, obtenha
.
Obtenha o vetor velocidade da partícula
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas trajetórias de partículas no espaço. A trajetória da partícula
é dada por
e a da partícula
é
. A pergunta quer saber qual é o vetor velocidade da partícula
no instante
, ou seja, precisamos encontrar
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de um vetor em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o vetor posição
de uma partícula descreve a sua posição no espaço em função do tempo
. Para encontrar o vetor velocidade
, que nos diz quão rápido e em que direção a partícula está se movendo, a gente deriva o vetor posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos:
Passo 3
Vamos aplicar isso à trajetória da partícula
. A trajetória é:
Para encontrar
, derivamos cada componente de
em relação a
:
Passo 4
Vamos fazer as derivadas de cada componente:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 5
Agora, queremos especificamente o vetor velocidade no instante
. Mas, olhando para a derivada que encontramos, percebemos que ela não depende de
, ou seja, é constante:
Resposta
O vetor velocidade da partícula
no instante
é
.
Exercícios relacionados
Dê um contraexemplo de que uma função pode ser contínua em um ponto, mas não derivável neste ponto. (feito em sala de aula)
Ache
.
Suponha que a trajetória de uma partícula
seja dada por
e que a trajetória de uma partícula
seja dada por
.
As trajetórias das duas partículas se encontram? As duas partículas colidem?
As trajetórias das duas partículas se encontram? As duas partículas colidem?
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(g) Seja , calcule
e
.
(g) Seja