Suponha que a trajetória de uma partícula A seja dada por r1(t) = (2 + t, 1 - t, 2t) e que a trajetória de uma partícula B seja dada por r2(s) = (1+s, -1+s, -1/2+s).
Obtenha o vetor velocidade da partícula A no instante t = 1, isto é, obtenha r1'(1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas trajetórias de partículas no espaço. A trajetória da partícula é dada por e a da partícula é . A pergunta quer saber qual é o vetor velocidade da partícula no instante , ou seja, precisamos encontrar . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de um vetor em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o vetor posição de uma partícula descreve a sua posição no espaço em função do tempo . Para encontrar o vetor velocidade , que nos diz quão rápido e em que direção a partícula está se movendo, a gente deriva o vetor posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos:

Passo 3

Vamos aplicar isso à trajetória da partícula . A trajetória é:
Para encontrar , derivamos cada componente de em relação a :

Passo 4

Vamos fazer as derivadas de cada componente:
Então, o vetor velocidade é:

Passo 5

Agora, queremos especificamente o vetor velocidade no instante . Mas, olhando para a derivada que encontramos, percebemos que ela não depende de , ou seja, é constante:

Resposta

O vetor velocidade da partícula no instante é .

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Suponha que a trajetória de uma partícula A seja dada por r1(t) = (2 + t, 1 - t, 2t) e que a trajetória de uma partícula B seja dada por r2(s) = (1+s, -1+s, -1/2+s).
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