Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(j) Seja
, calcule
e
.
(j) Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função
e também calcular o valor dessa derivada quando
. Vamos usar as propriedades de derivadas, especialmente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, quando uma função está dentro da outra.
Passo 3
Na nossa função, temos a composição de duas funções:
- A função externa
, onde . - A função interna
.
De acordo com a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
. Usando a regra do poder, sabemos que:
Passo 5
Substituímos
e
na expressão da derivada usando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos calcular
substituindo
na expressão que encontramos:
Já que qualquer número multiplicado por zero é zero, e
.
Resposta
A derivada da função é
e
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(f) Seja , calcule
e
.
(f) Seja
Calcule as derivadas laterais à esquerda e direita em 2. A função
é derivável em 2 ?
, calcule
utilizando a definição.
Ache
.
Dê um contraexemplo de que uma função pode ser contínua em um ponto, mas não derivável neste ponto. (feito em sala de aula)