Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(j) Seja f(x) = sen(2 x^3), calcule f'(x) e f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função e também calcular o valor dessa derivada quando . Vamos usar as propriedades de derivadas, especialmente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, quando uma função está dentro da outra.

Passo 3

Na nossa função, temos a composição de duas funções:
  • A função externa , onde .
  • A função interna .
De acordo com a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a derivada de . Usando a regra do poder, sabemos que:

Passo 5

Substituímos e na expressão da derivada usando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos calcular substituindo na expressão que encontramos:
Já que qualquer número multiplicado por zero é zero, e .

Resposta

A derivada da função é e .

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(f) Seja f(x) = ln(1/x), calcule f'(x) e f'(2).
Calcule as derivadas laterais à esquerda e direita em 2. A função f é derivável em 2 ? f(x) = 1/x, calcule f'(2) utilizando a definição.
Ache varepsilon1.
& a) f(x, y)=x^2+3 x y-y^2, x in[1,3] ; y=4 & b) f(x, y)=x^3-y^2, x in[2,6] ; y=3 & c) f(x, y)=4 xx+y, x in[0,4] ; y=-6 & d) f(x, y)=2 x-y2 y+x, x in[-3,3] ; y=5
Dê um contraexemplo de que uma função pode ser contínua em um ponto, mas não derivável neste ponto. (feito em sala de aula)