Ache
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar
para a função
com
no intervalo
e
. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente no estudo de aproximações e termos de erro em expansões de funções. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como calcular termos de erro em uma aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na função para simplificar:
Então, a função simplifica para
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que é
. Geralmente, em séries de Taylor ou aproximações,
representa o termo de erro ou o resto após o segundo termo da aproximação. Para encontrar esse erro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, as segundas derivadas parciais:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Derivada mista:
Passo 5
Com as derivadas calculadas, podemos usar a fórmula do termo de erro para uma aproximação de Taylor de segunda ordem. A fórmula geral para o termo de erro
é:
Neste caso, como
e estamos considerando um ponto de expansão próximo, assumimos
e
. Portanto, a fórmula simplifica para:
Passo 6
Substituindo as derivadas que calculamos e
na fórmula do erro:
Resposta
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(m) Seja , calcule
e
.
(m) Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
© Seja , calcule
e
.
© Seja
Calcule as derivadas laterais à esquerda e direita em 2. A função
é derivável em 2 ?
, calcule
utilizando a definição.
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(f) Seja , calcule
e
.
(f) Seja