Calcule as derivadas laterais à esquerda e direita em 2. A função f é derivável em 2 ? f(x) = 1/x, calcule f'(2) utilizando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas laterais à esquerda e à direita da função no ponto . Depois, vamos verificar se a função é derivável nesse ponto e, por fim, calcular a derivada usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas laterais, derivabilidade e como aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas laterais. A derivada lateral à direita em um ponto é o limite da taxa de variação da função à medida que nos aproximamos desse ponto vindo da direita. Já a derivada lateral à esquerda é esse mesmo limite, mas vindo da esquerda. Se essas duas derivadas laterais existirem e forem iguais, então a função é derivável nesse ponto.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada lateral à direita em . Usamos a definição de derivada lateral à direita:
Substituindo :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada lateral à esquerda em . Usamos a definição de derivada lateral à esquerda:
Substituindo :

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Observamos que as derivadas laterais à direita e à esquerda são iguais ( ). Isso significa que a função é derivável em .

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada usando a definição de derivada, que é o limite da taxa de variação da função conforme se aproxima de zero:
Substituindo :
Simplificando como fizemos anteriormente, chegamos a:

Resposta

A derivada é igual a .

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