Calcule as derivadas laterais à esquerda e direita em 2. A função
é derivável em 2 ?
, calcule
utilizando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas laterais à esquerda e à direita da função
no ponto
. Depois, vamos verificar se a função é derivável nesse ponto e, por fim, calcular a derivada
usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas laterais, derivabilidade e como aplicar a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas laterais. A derivada lateral à direita em um ponto é o limite da taxa de variação da função à medida que nos aproximamos desse ponto vindo da direita. Já a derivada lateral à esquerda é esse mesmo limite, mas vindo da esquerda. Se essas duas derivadas laterais existirem e forem iguais, então a função é derivável nesse ponto.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada lateral à direita em
. Usamos a definição de derivada lateral à direita:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada lateral à esquerda em
. Usamos a definição de derivada lateral à esquerda:
Substituindo
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Observamos que as derivadas laterais à direita e à esquerda são iguais (
). Isso significa que a função
é derivável em
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada
usando a definição de derivada, que é o limite da taxa de variação da função conforme
se aproxima de zero:
Substituindo
:
Simplificando como fizemos anteriormente, chegamos a:
Resposta
A derivada
é igual a
.
Exercícios relacionados
Ache
.
a)
a)
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(m) Seja , calcule
e
.
(m) Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(f) Seja , calcule
e
.
(f) Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(j) Seja , calcule
e
.
(j) Seja