Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor mais geral cuja derivada é a função dada:
Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente de derivadas e integrais de funções vetoriais. Vamos precisar integrar cada componente dessa função para achar o vetor original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se a derivada de um vetor é , então:
Para encontrar , precisamos integrar cada componente de em relação a .

Passo 3

Vamos separar as componentes de :
  1. Componente i:
    A gente precisa integrar em relação a . Sabemos que:
    Onde é uma constante de integração.
  2. Componente j:
    A integral de é bem direta:
    Onde é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, juntamos as integrais das duas componentes para formar o vetor :
Mas como estamos procurando o vetor mais geral, podemos combinar as constantes e em um vetor constante .

Resposta

O vetor mais geral cuja derivada é é:
Onde é um vetor constante qualquer.

Exercícios relacionados

Ache o limite indicado, se ele existir.
c)
Ache e .
Calcule a integral
Resolva as integrais em regiōes retangulares