Calcule a integral integral0^1 integral1 / 2^raiz2 y-y^2 x d x d y

Passo 1

Beleza, você quer calcular a integral dupla integral0^1 integral12^raiz2 y - y^2 x , dx , dy. Isso está ligado ao cálculo integral, especificamente às integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Vamos começar pela integral interna, que é integral12^raiz2 y - y^2 x , dx. Aqui, tratamos y como uma constante. A antiderivada de x em relação a x é 12x^2.

Passo 3

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de x = 12 até x = raiz2y - y^2:
12 (raiz2y - y^2)^2 - 12 (12)^2 = 12 (2y - y^2) - 18 = y - 12y^2 - 18

Passo 4

Agora, nossa integral dupla se transformou em uma integral simples em relação a y:
integral0^1 (y - 12y^2 - 18) dy

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral y , dy = 12y^2
  2. integral 12y^2 , dy = 16y^3
  3. integral 18 , dy = 18y

Passo 6

Substituímos os limites de y de 0 a 1 nas antiderivadas:
( 12(1)^2 - 16(1)^3 - 18(1) ) - ( 0 - 0 - 0 ) = 12 - 16 - 18

Passo 7

Vamos somar as frações. Primeiro, colocamos todas com o mesmo denominador, que é 24:
12 = 1224, 16 = 424, 18 = 324
Então:
1224 - 424 - 324 = 524

Resposta

524.

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