Resolva as integrais em regiōes retangulares
integral1^2 integral0^4(x^2-4 y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você mandou! A gente tem uma região retangular onde vamos calcular a integral de em relação a de 0 a 4 e depois em relação a de 1 a 2. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que serve pra calcular volumes ou áreas quando a função depende de duas variáveis. Vamos precisar integrar primeiro em e depois em .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^4 (x^2 - 4y) , dx . A função que vamos integrar é , e os limites de vão de 0 a 4.

Passo 3

Vamos integrar termo por termo. A integral de integral (x^2 - 4y) , dx = x^33 - 4y cdot x em relação a é , e a integral de em relação a é , já que é considerado uma constante nessa integração.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 4^33 - 4y cdot 4 = 643 - 16y de 0 a 4.
Para 0^33 - 4y cdot 0 = 0 :
( 643 - 16y ) - 0 = 643 - 16y
Para :
Subtraindo os valores:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a integral1^2 ( 643 - 16y ) , dy , com limites de 1 a 2:

Passo 6

Vamos integrar novamente termo por termo. A integral de integral ( 643 - 16y ) , dy = 643 y - 8y^2 em relação a é , e a integral de em relação a é .

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 643 cdot 2 - 8 cdot 2^2 = 1283 - 32 = 1283 - 963 = 323 de 1 a 2.
Para 643 cdot 1 - 8 cdot 1^2 = 643 - 8 = 643 - 243 = 403 :
323 - 403 = -83
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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