Resolva as integrais em regiōes retangulares

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você mandou! A gente tem uma região retangular onde vamos calcular a integral de em relação a de 0 a 4 e depois em relação a de 1 a 2. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que serve pra calcular volumes ou áreas quando a função depende de duas variáveis. Vamos precisar integrar primeiro em e depois em .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a . A função que vamos integrar é , e os limites de vão de 0 a 4.

Passo 3

Vamos integrar termo por termo. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é , já que é considerado uma constante nessa integração.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de de 0 a 4.
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a , com limites de 1 a 2:

Passo 6

Vamos integrar novamente termo por termo. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é .

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de de 1 a 2.
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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