Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o vetor tangente unitário para a curva definida pela equação vetorial:
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre vetores tangentes e normalização de vetores. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a
e depois normalizar esse vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
. A derivada nos mostra a taxa de variação da posição em cada direção.
Calculando cada componente:
- Para , a derivada é
- Para
, a derivada é - Para
, podemos reescrever como , e a derivada é
Então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a norma (ou módulo) do vetor velocidade
. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor
:
Simplificando os termos trigonométricos:
Então:
Passo 4
Finalmente, para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar o vetor velocidade
, ou seja, dividir
pela sua norma:
Resposta
O vetor tangente unitário para a curva dada é:
Exercícios relacionados
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(e) .
(e)