Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o vetor tangente unitário para a curva definida pela equação vetorial:
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre vetores tangentes e normalização de vetores. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a e depois normalizar esse vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade . A derivada nos mostra a taxa de variação da posição em cada direção.
Calculando cada componente:
  • Para , a derivada é
  • Para , a derivada é
  • Para , podemos reescrever como , e a derivada é
Então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a norma (ou módulo) do vetor velocidade . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor :
Simplificando os termos trigonométricos:
Então:

Passo 4

Finalmente, para encontrar o vetor tangente unitário , precisamos normalizar o vetor velocidade , ou seja, dividir pela sua norma:

Resposta

O vetor tangente unitário para a curva dada é:

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Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(e) .