Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a derivada do ângulo
, que é o ângulo entre dois vetores
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e cálculo diferencial. As funções dadas são:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula do cosseno do ângulo
entre
e
é:
Onde
é o produto escalar dos vetores e
e
são as magnitudes dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Note que o componente
de
é zero, então só consideramos a componente
.
Passo 4
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores
e
:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
Passo 6
Para encontrar
, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Usaremos a regra da cadeia:
E a derivada do lado direito:
Passo 7
Igualando as duas derivadas:
Resolvendo para
:
Passo 8
Vamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Portanto:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
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e os escalares
e
.