Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a derivada do ângulo , que é o ângulo entre dois vetores e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e cálculo diferencial. As funções dadas são:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores. A fórmula do cosseno do ângulo entre e é:
Onde é o produto escalar dos vetores e e são as magnitudes dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :
Note que o componente de é zero, então só consideramos a componente .

Passo 4

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores e :

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:

Passo 6

Para encontrar , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Usaremos a regra da cadeia:
E a derivada do lado direito:

Passo 7

Igualando as duas derivadas:
Resolvendo para :

Passo 8

Vamos expressar em termos de . Sabemos que:
Portanto:

Passo 9

Substituindo na expressão de :

Resposta

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Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
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Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores e os escalares e .