Ache um vetor de módulo 2 com mesma direção e sentido contrário do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar um vetor com módulo 2 que tenha a mesma direção que o vetor dado, mas com sentido contrário. A matéria envolvida aqui é vetores, mais especificamente, como calcular vetores com direção e sentido específicos usando o conceito de módulo e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor é definido por suas componentes. O vetor que a gente tem é . O módulo desse vetor, que é o tamanho ou comprimento, pode ser calculado usando a fórmula:

Passo 3

Vamos calcular o módulo do vetor :
Então, o módulo do vetor é .

Passo 4

Agora, queremos um vetor que tenha direção oposta e módulo 2. Para inverter a direção de um vetor, a gente multiplica ele por -1. Mas como a gente quer que o módulo seja 2, precisamos ajustar essa multiplicação para que o vetor resultante tenha exatamente o módulo desejado.

Passo 5

Vamos usar um escalar para multiplicar o vetor original . A gente quer que:
E que tenha direção oposta, então:
Como a direção é oposta, precisa ser negativo. Então, vamos achar tal que:

Passo 6

Substituindo o módulo de que já calculamos:
Mas como queremos direção oposta, será negativo:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar o vetor original por :

Resposta

O vetor com módulo 2 e direção oposta ao vetor é:

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Seja a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de:
Obtenha a fórmula explícita da transformação linear , tal que e verifique se .
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e s: