Obtenha a fórmula explícita da transformação linear , tal que e verifique se .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a fórmula explícita de uma transformação linear com alguns valores específicos dados. Além disso, vamos verificar se o vetor está no núcleo dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades do núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, , onde é um vetor em .
Passo 3
Nos foram dadas três imagens de vetores específicos:
Vamos representar a matriz como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de .
Passo 4
Vamos usar as imagens dos vetores para montar um sistema de equações. Por exemplo, para o primeiro vetor:
A 3 2 -1 = 7 0 0
Multiplicando:
3a + 2b - c = 7 3d + 2e - f = 0 3g + 2h - i = 0
Fazendo o mesmo para os outros vetores:
Para a + b = 0 d + e = 0 g + h = 0 :
- a = 0 - d = 2 - g = 0
Para :
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Do terceiro conjunto de equações:
- a = 0 Rightarrow a = 0 - d = 2 Rightarrow d = -2 - g = 0 Rightarrow g = 0
Substituindo 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 -2 + e = 0 Rightarrow e = 2 0 + h = 0 Rightarrow h = 0 nas equações do segundo conjunto:
Passo 6
Agora, substituímos 3(0) + 2(0) - c = 7 Rightarrow -c = 7 Rightarrow c = -7 3(-2) + 2(2) - f = 0 Rightarrow -6 + 4 - f = 0 Rightarrow -2 - f = 0 Rightarrow f = -2 3(0) + 2(0) - i = 0 Rightarrow -i = 0 Rightarrow i = 0 , no primeiro conjunto de equações:
Passo 7
Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz A = 0 & 0 & -7 -2 & 2 & -2 0 & 0 & 0 :
T(x) = Ax = 0 & 0 & -7 -2 & 2 & -2 0 & 0 & 0 x y z = -7z -2x + 2y - 2z 0
Portanto, a fórmula explícita da transformação linear é:
Passo 8
Agora, vamos verificar se o vetor T(-2, -1, 1) = 0 & 0 & -7 -2 & 2 & -2 0 & 0 & 0 -2 -1 1 = 0*(-2) + 0*(-1) + (-7)(1) -2*(-2) + 2*(-1) + (-2)(1) 0*(-2) + 0*(-1) + 0*(1) = -7 4 - 2 -2 0 = -7 0 0 está no núcleo da transformação. Isso significa que deve ser o vetor zero.
Calculando:
Como , o vetor não está no núcleo de .
Resposta
A transformação linear T(x) = 0 & 0 & -7 -2 & 2 & -2 0 & 0 & 0 x y z = -7z -2x + 2y - 2z 0 é dada por:
Além disso, o vetor não está no núcleo da transformação.