Obtenha a fórmula explícita da transformação linear , tal que e verifique se .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a fórmula explícita de uma transformação linear com alguns valores específicos dados. Além disso, vamos verificar se o vetor está no núcleo dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades do núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, , onde é um vetor em .
Passo 3
Nos foram dadas três imagens de vetores específicos:
Vamos representar a matriz como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de .
Passo 4
Vamos usar as imagens dos vetores para montar um sistema de equações. Por exemplo, para o primeiro vetor:
Multiplicando:
Fazendo o mesmo para os outros vetores:
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Do terceiro conjunto de equações:
Substituindo nas equações do segundo conjunto:
Passo 6
Agora, substituímos , no primeiro conjunto de equações:
Passo 7
Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz :
Portanto, a fórmula explícita da transformação linear é:
Passo 8
Agora, vamos verificar se o vetor está no núcleo da transformação. Isso significa que deve ser o vetor zero.
Calculando:
Como , o vetor não está no núcleo de .
Resposta
A transformação linear é dada por:
Além disso, o vetor não está no núcleo da transformação.