Obtenha a fórmula explícita da transformação linear , tal que e verifique se .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a fórmula explícita de uma transformação linear com alguns valores específicos dados. Além disso, vamos verificar se o vetor está no núcleo dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades do núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja, , onde é um vetor em .

Passo 3

Nos foram dadas três imagens de vetores específicos:
Vamos representar a matriz como:
Nosso objetivo é encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos usar as imagens dos vetores para montar um sistema de equações. Por exemplo, para o primeiro vetor:
Multiplicando:
Fazendo o mesmo para os outros vetores:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Do terceiro conjunto de equações:
Substituindo nas equações do segundo conjunto:

Passo 6

Agora, substituímos , no primeiro conjunto de equações:

Passo 7

Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz :
Portanto, a fórmula explícita da transformação linear é:

Passo 8

Agora, vamos verificar se o vetor está no núcleo da transformação. Isso significa que deve ser o vetor zero.
Calculando:
Como , o vetor não está no núcleo de .

Resposta

A transformação linear é dada por:
Além disso, o vetor não está no núcleo da transformação.

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Quais das aplicações abaixo são transformações lineares: tal que .
Considere os vetores e . Determine um vetor que seja ortogonal a ambos e .
Seja a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de:
Ache um vetor de módulo 2 com mesma direção e sentido contrário do vetor .