Seja a transformação linear definida por: . Encontre uma base e a dimensão de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base e a dimensão da imagem da transformação linear definida por:
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares, imagem (ou imagem de uma transformação), base e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a imagem de e determinar uma base para ela, além de calcular sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada coordenada da imagem corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:
Essa matriz é uma matriz que representa a transformação linear .
Passo 3
A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos através de . Na linguagem de matrizes, isso corresponde ao espaço gerado pelas colunas da matriz . Portanto, para encontrar uma base para , precisamos identificar um conjunto de colunas de que sejam linearmente independentes.
Passo 4
Vamos escrever as colunas da matriz :
Nosso objetivo é verificar quais dessas colunas são linearmente independentes. Se conseguirmos identificar um conjunto mínimo de vetores que geram todo o espaço de , teremos a base que procuramos.
Passo 5
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com essas colunas e realizar a eliminação de Gauss para encontrar o posto da matriz:
Vamos fazer operações nas linhas para simplificar:
Subtrair a primeira linha da segunda e da terceira:
Subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira:
Agora, a matriz está em forma escalonada. As linhas não nulas indicam que o posto da matriz é 3.
Passo 6
Como o posto da matriz é 3, isso significa que há 3 colunas linearmente independentes. Podemos escolher as primeiras três colunas como uma base para :
Esses vetores são linearmente independentes e geram toda a imagem de , formando assim uma base.
Passo 7
Finalmente, a dimensão de é o número de vetores na base. Como nossa base tem 3 vetores, a dimensão de é 3.