Seja T: R^4 Re^3 a transformação linear definida por:
T(x, y, z, t)=(x-y-z+t, x-2 z-t, x+y+3 z-t). Encontre uma base e a dimensão de: Im(T)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base e a dimensão da imagem da transformação linear T(x, y, z, t) = (x - y - z + t,; x - 2z - t,; x + y + 3z - t) definida por:
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares, imagem (ou imagem de uma transformação), base e dimensão. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a imagem de e determinar uma base para ela, além de calcular sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & -1 & -1 & 1 1 & 0 & -2 & -1 1 & 1 & 3 & -1 como uma matriz. Cada coordenada da imagem corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:
Essa matriz é uma matriz que representa a transformação linear .

Passo 3

A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos através de . Na linguagem de matrizes, isso corresponde ao espaço gerado pelas colunas da matriz . Portanto, para encontrar uma base para , precisamos identificar um conjunto de colunas de que sejam linearmente independentes.

Passo 4

Vamos escrever as colunas da matriz v1 = 1 1 1 , v2 = -1 0 1 , v3 = -1 -2 3 , v4 = 1 -1 -1 :
Nosso objetivo é verificar quais dessas colunas são linearmente independentes. Se conseguirmos identificar um conjunto mínimo de vetores que geram todo o espaço de , teremos a base que procuramos.

Passo 5

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com essas colunas e realizar a eliminação de Gauss para encontrar o posto da matriz:
1 & -1 & -1 & 1 1 & 0 & -2 & -1 1 & 1 & 3 & -1
Vamos fazer operações nas linhas para simplificar:
  1. Subtrair a primeira linha da segunda e da terceira:
1 & -1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & -2 0 & 2 & 4 & -2
  1. Subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira:
1 & -1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & -2 0 & 0 & 6 & 2
Agora, a matriz está em forma escalonada. As linhas não nulas indicam que o posto da matriz é 3.

Passo 6

Como o posto da matriz v1, v2, v3 = 1 1 1 , -1 0 1 , -1 -2 3 é 3, isso significa que há 3 colunas linearmente independentes. Podemos escolher as primeiras três colunas como uma base para :
Esses vetores são linearmente independentes e geram toda a imagem de , formando assim uma base.

Passo 7

Finalmente, a dimensão de é o número de vetores na base. Como nossa base tem 3 vetores, a dimensão de é 3.

Resposta

Uma base para 1 1 1 ,; -1 0 1 ,; -1 -2 3 é:
E a dimensão de é 3.

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