Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
r:lx=0 y=z e s: ly=3 z=2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. Para isso, vamos precisar entender as equações das retas, identificar seus vetores diretores e aplicar uma fórmula matemática que nos ajude a encontrar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma paramétrica. Isso facilita a visualização e os cálculos.
Para a reta r:
x = 0 y = z
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro r(t) = (0, t, t) :
y = 3 z = 2x
Para a reta s:
s(s) = (s, 3, 2s)
Parametrizando com um parâmetro :

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta, que indicam a direção em que cada reta se move no espaço.
  • Vetor diretor da reta r:
vr = (0, 1, 1)
  • Vetor diretor da reta s:
vs = (1, 0, 2)

Passo 4

Para calcular a distância entre as retas, precisamos de um vetor que une um ponto em r a um ponto em s. Vamos escolher pontos simples para facilitar.
Escolhendo P = (0, 0, 0) para r:
Q = (0, 3, 0)
Escolhendo PQ = Q - P = (0, 3, 0) para s:
O vetor que une P a Q é:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar a distância entre duas retas no espaço. A fórmula é:
Distância = |PQ cdot (vr times vs)||vr times vs| â
Primeiro, calculamos o produto vetorial vr times vs = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 = (1 cdot 2 - 1 cdot 0)i - (0 cdot 2 - 1 cdot 1)j + (0 cdot 0 - 1 cdot 1)k = (2)i + (1)j - (1)k = (2, 1, -1) :
PQ cdot (2, 1, -1) = 0 cdot 2 + 3 cdot 1 + 0 cdot (-1) = 3
Agora, calculamos o produto escalar |vr times vs| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 :
Distância = 3raiz6 = 3raiz66 = raiz62
E a norma do produto vetorial:
Finalmente, a distância é:
â

Resposta

A distância entre as retas e é igual a unidades.

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