Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
R(t) = sen(2t) * i + cos(2t) * j + 2 * raiz(t^3) * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa encontrar o vetor tangente unitário para a curva dada pela equação vetorial:
Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de em relação a . A derivada de um vetor nos dá o vetor velocidade, que é crucial para encontrar o vetor tangente.
Calculando cada componente:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de ou em relação a é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de , que é a norma do vetor velocidade. Isso é necessário para normalizar o vetor e obter o vetor tangente unitário.
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Podemos fatorar o 4:
Sabemos que , então:

Passo 4

Finalmente, para obter o vetor tangente unitário, dividimos o vetor velocidade pelo seu módulo :

Resposta

O vetor tangente unitário para a curva dada é:

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