Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa encontrar o vetor tangente unitário para a curva dada pela equação vetorial:
Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
em relação a
. A derivada de um vetor nos dá o vetor velocidade, que é crucial para encontrar o vetor tangente.
Calculando cada componente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
ou em relação a é .
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo de
, que é a norma do vetor velocidade. Isso é necessário para normalizar o vetor e obter o vetor tangente unitário.
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Podemos fatorar o 4:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Finalmente, para obter o vetor tangente unitário, dividimos o vetor velocidade
pelo seu módulo
:
Resposta
O vetor tangente unitário para a curva dada é: