Determine partial z / partial x e partial z / partial y
z=f(x / y)

Passo 1

Vamos entender o enunciado: Temos uma função . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna. Aqui, z = f(u) é a função interna que está dentro da função . Portanto, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de partial zpartial x = f'(u) cdot partial upartial x em relação a :
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular partial upartial x = 1y . Como , derivando em relação a :

Passo 5

Substituindo partial zpartial x = f'(xy) cdot 1y = f'(xy)y na equação anterior:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial y = f'(u) cdot partial upartial y em relação a usando a regra da cadeia:

Passo 7

Calculando partial upartial y = partialpartial y(xy) = -xy^2 :

Passo 8

Substituindo partial zpartial y = f'(xy) cdot (-xy^2) = -x f'(xy)y^2 na equação anterior:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = f'(xy)y
partial zpartial y = -x f'(xy)y^2

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