Nesta questão, você deve demonstrar a afirmação
se
é ímpar, então
é par
fazendo uma demonstração por contradição.
Demonstração:
,
, o que é uma contradição.
Faça a demonstração arrastando os blocos abaixo para os espaços acima de modo a obter uma demonstração por contradição para a afirmação do enunciado.
então
para algum inteiro
para algum inteiro j
então
para algum inteiro
e
para algum inteiro
então
para algum inteiro k e
para algum inteiro j
se
fazendo uma demonstração por contradição.
Demonstração:
, o que é uma contradição.
Faça a demonstração arrastando os blocos abaixo para os espaços acima de modo a obter uma demonstração por contradição para a afirmação do enunciado.
então
então
então
assim, 1 é par |
---|
logo
, e portanto
suponha que
|
---|
suponha que
|
:— |
subtraindo x em ambos os lados, obtemos
suponha que
|
---|
logo
, e portanto
dividindo por 2 em ambos os lados, obtemos
então existe inteiro tal que
e
dividindo por 2 em ambos os lados, obtemos
então existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que “se
é ímpar, então
é par”. Para isso, vamos usar uma técnica chamada demonstração por contradição. Isso significa que vamos assumir que o que queremos provar é falso e mostrar que isso leva a uma contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar ou par. Um número é par se ele pode ser escrito como
, onde
é um inteiro. Já um número é ímpar se ele pode ser escrito como
, onde
também é um inteiro.
Passo 3
Agora, vamos supor o oposto do que queremos provar. Ou seja, vamos assumir que
é ímpar e que
também é ímpar. Se conseguirmos achar uma contradição a partir dessa suposição, teremos provado que nossa afirmação original é verdadeira.
Passo 4
Como
é ímpar, podemos escrever:
onde
é algum inteiro.
Passo 5
Também, como assumimos que
é ímpar, podemos escrever:
onde
é algum inteiro.
Passo 6
Vamos substituir
na equação de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos rearranjar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por 2:
Aqui está a contradição!
deve ser um número inteiro porque tanto
quanto
são inteiros. Mas
não é inteiro.
Resposta
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que
é ímpar está errada. Portanto, se
é ímpar, então
é par.