Nesta questão, você deve demonstrar a afirmação
se x é ímpar, então x + 3 é par
fazendo uma demonstração por contradição.
Demonstração: quadrado quadrado
quadrado quadrado,
, o que é uma contradição.
Faça a demonstração arrastando os blocos abaixo para os espaços acima de modo a obter uma demonstração por contradição para a afirmação do enunciado.
então x = 2k para algum inteiro ke x + 3 = 2 j + 1 para algum inteiro j
então x = 2k + 1 para algum inteiro k e x + 3 = 2j + 1 para algum inteiro j
então x = 2k para algum inteiro k e x + 3 = 2j para algum inteiro j
assim, 1 é par
logo 2k + 1 + 3 = 2j + 1, e portanto 3 = 2j - 2k = 2(j - k)
suponha que x é par e que x + 3 é par
suponha que x é par e que x + 3 é ímpar
:—
subtraindo x em ambos os lados, obtemos 3 = 1
suponha que x é ímpar e que x + 3 é ímpar
logo 2k + 3 = 2j, e portanto 3 = 2j - 2k = 2(j - k)
dividindo por 2 em ambos os lados, obtemos 1 = j - k
então existe k inteiro tal que x = 2k e x + 3 = 2k + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que “se é ímpar, então é par”. Para isso, vamos usar uma técnica chamada demonstração por contradição. Isso significa que vamos assumir que o que queremos provar é falso e mostrar que isso leva a uma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar ou par. Um número é par se ele pode ser escrito como , onde é um inteiro. Já um número é ímpar se ele pode ser escrito como , onde também é um inteiro.

Passo 3

Agora, vamos supor o oposto do que queremos provar. Ou seja, vamos assumir que é ímpar e que também é ímpar. Se conseguirmos achar uma contradição a partir dessa suposição, teremos provado que nossa afirmação original é verdadeira.

Passo 4

Como é ímpar, podemos escrever:
onde é algum inteiro.

Passo 5

Também, como assumimos que é ímpar, podemos escrever:
onde é algum inteiro.

Passo 6

Vamos substituir na equação de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos rearranjar a equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 2:
Aqui está a contradição! deve ser um número inteiro porque tanto quanto são inteiros. Mas não é inteiro.

Resposta

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que é ímpar está errada. Portanto, se é ímpar, então é par.

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