Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo ao longo de uma curva, e a posição dela no tempo
é dada pela equação vetorial
. O que precisamos encontrar são os vetores de velocidade
, aceleração
, e os escalares de aceleração tangencial
e normal
. Vamos usar cálculo vetorial pra resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar
.
Passo 4
Vamos calcular a aceleração tangencial
. Essa componente da aceleração está na direção da velocidade. Para isso, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Agora, calculamos a norma de
:
Então,
Passo 5
Por último, vamos encontrar a aceleração normal
. Essa componente da aceleração está perpendicular à velocidade e pode ser calculada usando a fórmula:
Primeiro, calculamos a norma de
:
Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando a expressão:
Resposta
Os vetores e escalares solicitados são: