Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
R(t) = t * i + t^2 * j

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo ao longo de uma curva, e a posição dela no tempo é dada pela equação vetorial . O que precisamos encontrar são os vetores de velocidade , aceleração , e os escalares de aceleração tangencial e normal . Vamos usar cálculo vetorial pra resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar .

Passo 4

Vamos calcular a aceleração tangencial . Essa componente da aceleração está na direção da velocidade. Para isso, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, calculamos a norma de :
Então,

Passo 5

Por último, vamos encontrar a aceleração normal . Essa componente da aceleração está perpendicular à velocidade e pode ser calculada usando a fórmula:
Primeiro, calculamos a norma de :
Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando a expressão:

Resposta

Os vetores e escalares solicitados são:

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