Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função que a gente conhece, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Vamos precisar primeiro achar a solução da equação homogênea e depois a solução particular para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos e .

Passo 3

Substituímos , e na equação homogênea:
Podemos dividir por (que nunca é zero) e obtemos a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Pelo método dos coeficientes indeterminados, assumimos que tem a mesma forma que o lado direito.

Passo 7

O lado direito é , que são duas funções distintas. Vamos considerar separadamente:
  1. Para , assumimos .
  2. Para , assumimos .
Então, a solução particular geral será .

Passo 8

Vamos calcular :
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Então:

Passo 9

Agora, vamos calcular :
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então:
Portanto:

Passo 10

A solução particular geral é a soma das duas soluções particulares:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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