Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função que a gente conhece, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Vamos precisar primeiro achar a solução da equação homogênea e depois a solução particular para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos e .
Passo 3
Substituímos , e na equação homogênea:
Podemos dividir por (que nunca é zero) e obtemos a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Pelo método dos coeficientes indeterminados, assumimos que tem a mesma forma que o lado direito.
Passo 7
O lado direito é , que são duas funções distintas. Vamos considerar separadamente:
Para , assumimos .
Para , assumimos .
Então, a solução particular geral será .
Passo 8
Vamos calcular :
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Então:
Passo 9
Agora, vamos calcular :
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então:
Portanto:
Passo 10
A solução particular geral é a soma das duas soluções particulares: