Ache o vetor que tem:
(I)a mesma direção e sentido de a e duas vezes o módulo de a;
(II)mesma direção de a, sentido oposto e um terço do módulo de a;
(III)mesma direção e sentido de a e módulo 2 .
a=-6 i-3 j+6 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar três vetores diferentes baseados no vetor a = -6 i - 3 j + 6 k. A matéria que vamos usar aqui é de álgebra vetorial, mais especificamente operações com vetores como multiplicação por escalar. Vamos precisar entender como aumentar ou diminuir o tamanho de um vetor e também como mudar sua direção ou sentido.

Passo 2

Parte I: Queremos um vetor que tenha a mesma direção e sentido de a, mas com duas vezes o módulo de a.
Primeiro, vamos lembrar que multiplicar um vetor por um número escalar altera seu tamanho (módulo) mas mantém a direção e o sentido se o escalar for positivo. Como queremos duas vezes o módulo, multiplicamos a por 2:
2 cdot a = 2 cdot (-6 i - 3 j + 6 k) = (-12 i - 6 j + 12 k)

Passo 3

Parte II: Agora, queremos um vetor que tenha mesma direção de a, mas sentido oposto e um terço do módulo de a.
Para mudar o sentido do vetor, multiplicamos por -1. Então, para reduzir o módulo para um terço, multiplicamos por 13. Juntando as duas operações:
-13 cdot a = -13 cdot (-6 i - 3 j + 6 k) = (2 i + 1 j - 2 k)

Passo 4

Parte III: Agora, precisamos de um vetor que tenha a mesma direção e sentido de a, mas com módulo igual a 2.
Para isso, primeiro calculamos o módulo de a:
|a| = raiz(-6)^2 + (-3)^2 + 6^2 = raiz36 + 9 + 36 = raiz81 = 9
Queremos um vetor com módulo 2 na mesma direção de a. Para isso, usamos o vetor unitário na direção de a e multiplicamos por 2:
u = a|a| = -6 i - 3 j + 6 k9 = -23 i - 13 j + 23 k
Agora, multiplicamos u por 2:
2 cdot u = 2 cdot (-23 i - 13 j + 23 k) = -43 i - 23 j + 43 k

Resposta

(I) -12 i - 6 j + 12 k
(II) 2 i + 1 j - 2 k
(III) -43 i - 23 j + 43 k

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