Dados alpha, beta in R. Considere as retas
r: x=y-alpha2=-z e s:l 4 x-beta y-1=0 y+2 z=0
Sabendo que estas retas são concorrentes, é correto afirmar que:
a) alpha=0 e beta neq 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço, r e s, que dependem de dois parâmetros reais, e . A pergunta é: quais valores de e fazem com que essas duas retas se encontrem (ou seja, sejam concorrentes)? Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas e encontrar um ponto que pertence a ambas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas.
A reta x = y - alpha2 = -z está dada por:
x = t y - alpha = 2t Rightarrow y = 2t + alpha z = -t
Isso significa que podemos parametrizar a reta escolhendo um parâmetro, digamos , e expressando , e em termos de . Vamos fazer isso:
Então, os pontos da reta são dados por .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta 4x - beta y - 1 = 0 y + 2z = 0 . Ela está definida pelo sistema de equações:
y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z
Podemos resolver esse sistema para expressar 4x - beta(-2z) - 1 = 0 Rightarrow 4x + 2beta z - 1 = 0 e 2beta z = 1 - 4x Rightarrow z = 1 - 4x2beta em termos de y = -2 ( 1 - 4x2beta ) = 4x - 1beta , ou escolher um parâmetro para representar os pontos da reta.
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, temos:
x = t y = 4t - 1beta z = 1 - 4t2beta
Substituindo esse valor na primeira equação:
Podemos isolar :
E como :
Então, podemos parametrizar a reta usando :
Portanto, os pontos da reta são dados por .

Passo 4

Para que as retas t = t' 2t + alpha = 4t' - 1beta -t = 1 - 4t'2beta e t = t 2t + alpha = 4t - 1beta -t = 1 - 4t2beta sejam concorrentes, elas devem ter pelo menos um ponto em comum. Isso significa que existe um valor de para e um valor de para que resultam no mesmo ponto .
Vamos igualar as coordenadas dos pontos de e :
Aqui, e são parâmetros diferentes para cada reta, mas como queremos o mesmo ponto, podemos igualá-los, ou seja, .
Então, substituindo :

Passo 5

Vamos resolver as duas últimas equações para encontrar 2t + alpha = 4t - 1beta e beta(2t + alpha) = 4t - 1 (1) .
Primeiro, da segunda equação:
-t = 1 - 4t2beta
Multiplicando ambos os lados por -2beta t = 1 - 4t (2) :
-2beta t + 4t = 1 Rightarrow t(-2beta + 4) = 1
Da terceira equação:
t = 1-2beta + 4 = 14 - 2beta
Multiplicando ambos os lados por beta(2 cdot 14 - 2beta + alpha) = 4 cdot 14 - 2beta - 1 :
beta(24 - 2beta + alpha) = 44 - 2beta - 1
Vamos rearranjar a equação (2):
beta(2 + alpha(4 - 2beta)) = 4 - (4 - 2beta)
Isolando beta(2 + 4alpha - 2alphabeta) = 2beta :
2beta + 4alphabeta - 2alphabeta^2 = 2beta
Agora, substituímos 4alphabeta - 2alphabeta^2 = 0 na equação (1):
2alphabeta(2 - beta) = 0
Simplificando:
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Simplificando o lado direito:
Expandindo:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. → ou ou

Passo 6

Vamos analisar as possibilidades:
  1. Se -2beta t = 1 - 4t :
    • Voltando à equação (2): -2beta cdot 14 - 2beta = 1 - 4 cdot 14 - 2beta Substituindo e usando : Resolvendo, veremos que isso é válido para .
  2. Se :
    • Isso causaria divisão por zero nas equações anteriores, o que não é permitido. Então, não é uma solução válida.
  3. Se :
    • No passo anterior, vimos que , o que é impossível. Logo, também não é uma solução válida.
Portanto, a única possibilidade válida é e .

Resposta

A opção a) e está correta.

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