Dados alpha, beta in R. Considere as retas
r: x=y-alpha2=-z e s:l 4 x-beta y-1=0 y+2 z=0
Sabendo que estas retas são concorrentes, é correto afirmar que:
d) alpha e beta são quaisquer

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas, e , definidas por equações em . O enunciado diz que essas retas são concorrentes, ou seja, elas se interceptam em um ponto comum. Nosso objetivo é verificar se, para que isso aconteça, os valores de e podem ser quaisquer números reais, conforme a opção d).

Passo 2

Vamos começar analisando a reta x = y - alpha2 = -z , que está definida pelas equações:
y = 2x + alpha e z = -x
Isso significa que podemos expressar (x, y, z) = (x, 2x + alpha, -x) e em termos de :
Então, a equação paramétrica da reta é:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta 4x - beta y - 1 = 0 y + 2z = 0 , que é definida pelo sistema de equações:
y = -2z
Podemos resolver esse sistema para expressar 4x - beta (-2z) - 1 = 0 Rightarrow 4x + 2beta z - 1 = 0 e 2beta z = 1 - 4x Rightarrow z = 1 - 4x2beta em termos de (x, y, z) = (x, 4x - 1beta, 1 - 4x2beta) :
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Vamos expressar em termos de :
Então,
A equação paramétrica da reta é:

Passo 4

Para que as retas 2x + alpha = 4x - 1beta e -x = 1 - 4x2beta e sejam concorrentes, deve existir um valor de que satisfaça simultaneamente as equações parametrizadas de ambas as retas. Ou seja:
Vamos resolver essas equações para encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Primeiro, da segunda equação:
-x = 1 - 4x2beta
Multiplicando ambos os lados por -2beta x = 1 - 4x :
-2beta x + 4x = 1 Rightarrow x(-2beta + 4) = 1 Rightarrow x = 14 - 2beta
Levantando os termos com 2(14 - 2beta) + alpha = 4(14 - 2beta) - 1beta para um lado:
24 - 2beta + alpha = 44 - 2beta - 1beta
Agora, substituímos 24 - 2beta + alpha = 4 - (4 - 2beta)beta(4 - 2beta) = 2betabeta(4 - 2beta) = 24 - 2beta na primeira equação:
24 - 2beta + alpha = 24 - 2beta
Simplificando:
alpha = 0
Multiplicando numerador e denominador por para simplificar:
Então, temos:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

Para que as retas sejam concorrentes, é necessário que e seja qualquer real diferente de 2. Portanto, a opção d) está incorreta, pois não pode ser qualquer valor.

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