Dados
. Considere as retas
Sabendo que estas retas são concorrentes, é correto afirmar que:
d)
e
são quaisquer
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas,
e
, definidas por equações em
. O enunciado diz que essas retas são concorrentes, ou seja, elas se interceptam em um ponto comum. Nosso objetivo é verificar se, para que isso aconteça, os valores de
e
podem ser quaisquer números reais, conforme a opção d).
Passo 2
Vamos começar analisando a reta
, que está definida pelas equações:
Isso significa que podemos expressar
e
em termos de
:
Então, a equação paramétrica da reta
é:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta
, que é definida pelo sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para expressar
e
em termos de
:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Vamos expressar
em termos de
:
Então,
A equação paramétrica da reta é:
A equação paramétrica da reta
Passo 4
Para que as retas
e
sejam concorrentes, deve existir um valor de
que satisfaça simultaneamente as equações parametrizadas de ambas as retas. Ou seja:
Vamos resolver essas equações para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Levantando os termos com
para um lado:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Então, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
Para que as retas sejam concorrentes, é necessário que
e
seja qualquer real diferente de 2. Portanto, a opção d) está incorreta, pois
não pode ser qualquer valor.