Beleza, vamos calcular o determinante da matriz que é uma matriz 4x4. O determinante é uma medida que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é inversível ou não. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método de expansão por cofatores, que é uma técnica para calcular determinantes de matrizes maiores que 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos expandir por uma linha ou coluna. Normalmente, escolhemos a linha ou coluna que tenha mais zeros para simplificar os cálculos, mas no caso da matriz , não há muito zeros para aproveitar. Então, vamos optar pela primeira linha para começar.
Para cada elemento da primeira linha, vamos calcular seu cofator, que envolve tirar a linha e a coluna desse elemento e calcular o determinante da matriz resultante 3x3.
Passo 4
Vamos calcular os cofatores para cada elemento da primeira linha:
Elemento (1,1) = 1
Removendo a primeira linha e primeira coluna, a matriz 3x3 fica:
1 & 0 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 3
O cofator é 3 & 0 & 2 2 & 0 & 1 0 & 1 & 3 .
Elemento (1,2) = 3
Removendo a primeira linha e segunda coluna, a matriz 3x3 fica:
3 & 1 & 2 2 & 3 & 1 0 & 2 & 3
O cofator é .
Elemento (1,3) = 2
Removendo a primeira linha e terceira coluna, a matriz 3x3 fica:
O cofator é .
Elemento (1,4) = 0
Como o elemento é zero, o cofator multiplicado por ele será zero, então não precisamos calcular esse termo.
Passo 5
Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes 3x3 que obtivemos:
Determinante de 1 & 0 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 3 = 1 times (0 times 3 - 1 times 1) - 0 times (3 times 3 - 1 times 2) + 2 times (3 times 1 - 0 times 2) = 1 times (-1) + 0 + 2 times 3 = -1 + 0 + 6 = 5 :
3 & 0 & 2 2 & 0 & 1 0 & 1 & 3 = 3 times (0 times 3 - 1 times 1) - 0 times (2 times 3 - 1 times 0) + 2 times (2 times 1 - 0 times 0) = 3 times (-1) + 0 + 2 times 2 = -3 + 0 + 4 = 1
Então, 3 & 1 & 2 2 & 3 & 1 0 & 2 & 3 = 3 times (3 times 3 - 1 times 2) - 1 times (2 times 3 - 1 times 0) + 2 times (2 times 2 - 3 times 0) = 3 times (9 - 2) - 1 times 6 + 2 times 4 = 3 times 7 - 6 + 8 = 21 - 6 + 8 = 23 .
Determinante de :
Então, (lembre que ).
Determinante de :
Então, (porque ).
Passo 6
Agora, vamos montar tudo para calcular o determinante de det(C) = (1) times 5 + (3) times (-1) + (2) times (-23) + (0) times (qualquer coisa) = 5 - 3 - 46 + 0 = -44 :