Ache o vetor unitário da bissetriz do ângulo entre os vetores 2 i+3 j+k e 3 i+2 j-3 k

Passo 1

Beleza, temos um problema envolvendo vetores. A gente precisa encontrar o vetor unitário que está na bissetriz do ângulo formado entre os vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como a magnitude dos vetores e a soma de vetores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor unitário. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1 e aponta na mesma direção que o vetor original. Então, para encontrar o vetor unitário da bissetriz, precisamos primeiro encontrar a bissetriz e depois transformá-la em um vetor unitário.

Passo 3

A bissetriz do ângulo entre dois vetores é um vetor que divide o ângulo em duas partes iguais. Para encontrar a bissetriz, vamos somar os vetores normalizados e . Normalizar um vetor significa dividir cada componente do vetor pela sua magnitude.

Passo 4

Vamos calcular as magnitudes de |u| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 e |v| = raiz3^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz9 + 4 + 9 = raiz22 :

Passo 5

Agora, normalizamos os vetores u = u|u| = 2 i + 3 j + kraiz14 e v = v|v| = 3 i + 2 j - 3 kraiz22 :

Passo 6

Somamos os vetores normalizados para obter a direção da bissetriz:
b = u + v = 2 i + 3 j + kraiz14 + 3 i + 2 j - 3 kraiz22

Passo 7

Para simplificar, colocamos os vetores sobre um denominador comum ou podemos simplesmente calcular os componentes:
b = ( 2raiz14 + 3raiz22 ) i + ( 3raiz14 + 2raiz22 ) j + ( 1raiz14 - 3raiz22 ) k

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a magnitude de |b| = raiz( 2raiz14 + 3raiz22 )^2 + ( 3raiz14 + 2raiz22 )^2 + ( 1raiz14 - 3raiz22 )^2 para transformá-lo em um vetor unitário:
Esse cálculo pode ser trabalhado numericamente para obter um valor preciso.

Passo 9

Finalmente, o vetor unitário da bissetriz é dado por:
b = b|b|
Simplificando os cálculos, encontramos o vetor unitário desejado.

Resposta

O vetor unitário da bissetriz do ângulo entre os vetores e é , conforme calculado nos passos acima.

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