(a) Prove que se é uma base ortonormal, então todo vetor u pode ser escrito como
u=proje1 u+proje2 u+proje3 u
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma base ortonormal , que significa que os vetores dessa base são todos de comprimento 1 e são perpendiculares entre si. O objetivo é mostrar que qualquer vetor pode ser decomposto como a soma das projeções de em cada um desses vetores da base.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção de vetores e propriedades de bases ortonormais.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é uma projeção de um vetor em outro vetor. A projeção de projei u = ( u cdot ei ) ei em é dada pela fórmula:
Aqui, representa o produto escalar entre e .
Passo 3
Como ei cdot ej = 1 & se i = j 0 & se i neq j é uma base ortonormal, sabemos que os vetores são mutuamente perpendiculares e têm norma 1. Isso significa que:
Essa propriedade simplifica muito os cálculos das projeções, pois as projeções em diferentes direções são independentes.
Passo 4
Agora, vamos somar as projeções de proje1 u + proje2 u + proje3 u = ( u cdot e1 ) e1 + ( u cdot e2 ) e2 + ( u cdot e3 ) e3 em cada um dos vetores da base:
Passo 5
Vamos reescrever o vetor u = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 usando as componentes em relação à base ortonormal . Qualquer vetor pode ser expresso como:
Onde , e .
Passo 6
Comparando as duas expressões, vemos que:
u = ( u cdot e1 ) e1 + ( u cdot e2 ) e2 + ( u cdot e3 ) e3
Isso mostra exatamente o que queríamos provar: que é a soma de suas projeções nas direções dos vetores da base ortonormal.
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer vetor u = proje1 u + proje2 u + proje3 u pode ser escrito como a soma das projeções de nos vetores de uma base ortonormal :