Determine o ângulo entre os seguintes pares de vetores : i+j+k,-2 j-2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o ângulo entre dois vetores. Os vetores dados são v = i + j + k e w = -2j - 2k. Vamos usar conceitos de Álgebra Vetorial, especificamente o produto escalar e a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar, ou produto interno, entre dois vetores v e w é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados:
v cdot w = vx wx + vy wy + vz wz
Isso nos dá um número que é usado para encontrar o ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre v e w. Primeiro, identifiquemos as componentes de cada vetor:
  • Para v = i + j + k, temos vx = 1, vy = 1, vz = 1.
  • Para w = -2j - 2k, temos wx = 0, wy = -2, wz = -2.
Agora, calculamos:
v cdot w = (1)(0) + (1)(-2) + (1)(-2) = 0 - 2 - 2 = -4

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor. O módulo de um vetor v = vxi + vyj + vzk é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Vamos calcular o módulo de cada vetor.

Passo 5

Calculando o módulo de v:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Calculando o módulo de w:
|w| = raiz0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre eles:
cos theta = v cdot w|v| |w|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = -4raiz3 times 2raiz2 = -42raiz6 = -2raiz6

Passo 7

Para achar o ângulo theta, precisamos aplicar a função arco cosseno:
theta = arccos( -2raiz6 )
Calculando isso, obtemos o valor aproximado do ângulo.

Resposta

O ângulo entre os vetores i + j + k e -2j - 2k é aproximadamente 125,26^circ.

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