Ache um vetor unitário (norma 1), ortogonal a u=(1,-3,1) e a v=(-3,3,3). Quantos soluções tem esse problema? Inteprete geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar um vetor unitário (ou seja, com norma igual a 1) que seja ortogonal aos vetores u = (1, -3, 1) e v = (-3, 3, 3). Além disso, vamos descobrir quantas soluções existem pra esse problema e entender isso de um jeito geométrico. Para resolver, vamos precisar usar o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, pra achar um vetor que seja ortogonal tanto a u quanto a v, podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois primeiros.
O produto vetorial u times v é calculado assim:
u times v = i & j & k 1 & -3 & 1 -3 & 3 & 3
Calculando o determinante:
u times v = i cdot (-3 cdot 3 - 1 cdot 3) - j cdot (1 cdot 3 - 1 cdot (-3)) + k cdot (1 cdot 3 - (-3) cdot (-3))
Simplificando:
u times v = i cdot (-9 - 3) - j cdot (3 + 3) + k cdot (3 - 9) = i cdot (-12) - j cdot 6 + k cdot (-6)
Então:
u times v = (-12, -6, -6)

Passo 3

Agora, temos que esse vetor (-12, -6, -6) é perpendicular a u e v. Mas a gente quer um vetor unitário, então precisamos normalizar esse vetor, ou seja, dividir cada componente pela sua norma.
Primeiro, calculamos a norma do vetor:
|w| = raiz(-12)^2 + (-6)^2 + (-6)^2 = raiz144 + 36 + 36 = raiz216 = 6raiz6
Então, o vetor unitário n é:
n = 16raiz6 cdot (-12, -6, -6) = ( -126raiz6, -66raiz6, -66raiz6 ) = ( -2raiz6, -1raiz6, -1raiz6 )
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por raiz6:
n = ( -2raiz66, -raiz66, -raiz66 ) = ( -raiz63, -raiz66, -raiz66 )

Passo 4

Perceba que o vetor resultante pode ter sinal positivo ou negativo, ou seja, tanto n quanto -n são soluções válidas, já que ambos são unitários e ortogonais a u e v.

Resposta

Existem duas soluções para o problema. Os vetores unitários ortogonais a u e v são:
n = ( raiz63, raiz66, raiz66 ) e n = ( -raiz63, -raiz66, -raiz66 )
Geometricamente, isso significa que há dois vetores unitários em direções opostas que são perpendiculares ao plano formado por u e v.

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