Ache um vetor unitário (norma 1), ortogonal a e a . Quantos soluções tem esse problema? Inteprete geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar um vetor unitário (ou seja, com norma igual a 1) que seja ortogonal aos vetores e . Além disso, vamos descobrir quantas soluções existem pra esse problema e entender isso de um jeito geométrico. Para resolver, vamos precisar usar o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, pra achar um vetor que seja ortogonal tanto a quanto a , podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois primeiros.
O produto vetorial é calculado assim:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:

Passo 3

Agora, temos que esse vetor é perpendicular a e . Mas a gente quer um vetor unitário, então precisamos normalizar esse vetor, ou seja, dividir cada componente pela sua norma.
Primeiro, calculamos a norma do vetor:
Então, o vetor unitário é:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :

Passo 4

Perceba que o vetor resultante pode ter sinal positivo ou negativo, ou seja, tanto quanto são soluções válidas, já que ambos são unitários e ortogonais a e .

Resposta

Existem duas soluções para o problema. Os vetores unitários ortogonais a e são:
Geometricamente, isso significa que há dois vetores unitários em direções opostas que são perpendiculares ao plano formado por e .

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Se , onde . Ache: Det
Se , onde . Ache:
Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
f) Existem dois números irracionais tais que é racional.
Suponha tal que


Assinale a afirmação verdadeira:
(A) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor e que quando existe solução ela não é única.
(B) Não se pode afirmar se tem solução para qualquer .
© Pode-se afirmar que tem solução para qualquer , mas não se pode garantir unicidade.
(D) Pode-se afirmar que tem solução única para qualquer .
(E) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor , mas quando existe solução ela é única.
(F) Não existe matriz que satisfaça às condições do enunciado.
(G) Não sei