Ache um vetor unitário (norma 1), ortogonal a e a . Quantos soluções tem esse problema? Inteprete geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar um vetor unitário (ou seja, com norma igual a 1) que seja ortogonal aos vetores e . Além disso, vamos descobrir quantas soluções existem pra esse problema e entender isso de um jeito geométrico. Para resolver, vamos precisar usar o produto vetorial e a normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, pra achar um vetor que seja ortogonal tanto a quanto a , podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois primeiros.
O produto vetorial é calculado assim:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:
Passo 3
Agora, temos que esse vetor é perpendicular a e . Mas a gente quer um vetor unitário, então precisamos normalizar esse vetor, ou seja, dividir cada componente pela sua norma.
Primeiro, calculamos a norma do vetor:
Então, o vetor unitário é:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :
Passo 4
Perceba que o vetor resultante pode ter sinal positivo ou negativo, ou seja, tanto quanto são soluções válidas, já que ambos são unitários e ortogonais a e .
Resposta
Existem duas soluções para o problema. Os vetores unitários ortogonais a e são:
Geometricamente, isso significa que há dois vetores unitários em direções opostas que são perpendiculares ao plano formado por e .