Se Det A=7, onde A=[llla & g & d b & h & e c & i & f]. Ache: Det [lllg & h & i d & e & f a & b & c]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A = a & g & d b & h & e c & i & f de ordem 3, e o determinante dessa matriz é 7. A matriz B = g & h & i d & e & f a & b & c é dada por:
Precisamos encontrar o determinante de outra matriz, que é:
Para resolver isso, vamos usar propriedades dos determinantes que nos ajudam a relacionar o determinante de uma matriz com o determinante de uma matriz obtida por permutações de linhas ou colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar como a matriz está relacionada com a matriz . Notamos que as linhas de são compostas por elementos das colunas de :
  • A primeira linha de ( ) corresponde à segunda coluna de .
  • A segunda linha de ( ) corresponde à terceira coluna de .
  • A terceira linha de ( ) corresponde à primeira coluna de .
Isso sugere que a matriz foi obtida a partir de por uma transposição das colunas.

Passo 3

Uma propriedade importante dos determinantes é que, ao permutar duas colunas de uma matriz, o sinal do determinante é invertido. Cada troca de duas colunas altera o sinal do determinante.
No nosso caso, vamos ver quantas trocas de colunas foram feitas para transformar em :
  1. Troca da primeira coluna com a segunda coluna de : essa troca inverte o sinal.
  2. Troca da nova primeira coluna com a terceira coluna: mais uma inversão de sinal.
No total, fizemos 2 trocas de colunas. Como cada troca inverte o sinal do determinante, 2 trocas resultam em não alterar o sinal original (já que ).

Passo 4

Agora, aplicando essa propriedade:
Det(B) = (fator de troca) times Det(A)
Como tivemos 2 trocas de colunas, o fator de troca é Det(B) = 1 times Det(A) = Det(A) . Portanto:
Sabemos que .

Passo 5

Substituindo o valor de Det(B) = 7 na equação:

Resposta

O determinante da matriz é 7.

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