Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem 3, e o determinante dessa matriz é 7. A matriz é dada por:
Precisamos encontrar o determinante de outra matriz, que é:
Para resolver isso, vamos usar propriedades dos determinantes que nos ajudam a relacionar o determinante de uma matriz com o determinante de uma matriz obtida por permutações de linhas ou colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar como a matriz está relacionada com a matriz . Notamos que as linhas de são compostas por elementos das colunas de :
A primeira linha de () corresponde à segunda coluna de .
A segunda linha de () corresponde à terceira coluna de .
A terceira linha de () corresponde à primeira coluna de .
Isso sugere que a matriz foi obtida a partir de por uma transposição das colunas.
Passo 3
Uma propriedade importante dos determinantes é que, ao permutar duas colunas de uma matriz, o sinal do determinante é invertido. Cada troca de duas colunas altera o sinal do determinante.
No nosso caso, vamos ver quantas trocas de colunas foram feitas para transformar em :
Troca da primeira coluna com a segunda coluna de : essa troca inverte o sinal.
Troca da nova primeira coluna com a terceira coluna: mais uma inversão de sinal.
No total, fizemos 2 trocas de colunas. Como cada troca inverte o sinal do determinante, 2 trocas resultam em não alterar o sinal original (já que ).
Passo 4
Agora, aplicando essa propriedade:
Como tivemos 2 trocas de colunas, o fator de troca é . Portanto: