Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
f) Existem dois números irracionais x, y tais que x y é racional.

Passo 1

Vamos analisar a proposição: “Existem dois números irracionais tais que é racional.” Isso faz parte do conteúdo de números irracionais e propriedades de operações com eles. Para resolver, vamos precisar entender o que são números irracionais e como eles se comportam quando multiplicados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Exemplos clássicos são e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar dois números irracionais e tal que o produto seja racional. Vamos tentar construir um exemplo para mostrar que isso é possível.

Passo 4

Considere . Sabemos que é irracional. Vamos agora definir . Então, também é irracional.

Passo 5

Vamos calcular o produto x cdot y = raiz2 cdot raiz2 = (raiz2)^2 = 2 :
Aqui, é um número racional, já que pode ser expresso como .

Passo 6

Portanto, encontramos dois números irracionais e cujo produto é igual a , um número racional.

Resposta

A proposição é verdadeira. Existem dois números irracionais, como e , cujo produto é o número racional .

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