Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
f) Existem dois números irracionais
tais que
é racional.
f) Existem dois números irracionais
Passo 1
Vamos analisar a proposição: “Existem dois números irracionais
tais que
é racional.” Isso faz parte do conteúdo de números irracionais e propriedades de operações com eles. Para resolver, vamos precisar entender o que são números irracionais e como eles se comportam quando multiplicados.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Exemplos clássicos são
e
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar dois números irracionais
e
tal que o produto
seja racional. Vamos tentar construir um exemplo para mostrar que isso é possível.
Passo 4
Considere
. Sabemos que
é irracional. Vamos agora definir
. Então,
também é irracional.
Passo 5
Vamos calcular o produto
:
Aqui,
é um número racional, já que pode ser expresso como
.
Passo 6
Portanto, encontramos dois números irracionais
e
cujo produto
é igual a
, um número racional.
Resposta
A proposição é verdadeira. Existem dois números irracionais, como
e
, cujo produto é o número racional
.