Avalie as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsa, sempre justificando sua resposta.
f) Existem dois números irracionais tais que é racional.
Passo 1
Vamos analisar a proposição: “Existem dois números irracionais tais que é racional.” Isso faz parte do conteúdo de números irracionais e propriedades de operações com eles. Para resolver, vamos precisar entender o que são números irracionais e como eles se comportam quando multiplicados.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Exemplos clássicos são e .
Passo 3
Agora, queremos encontrar dois números irracionais e tal que o produto seja racional. Vamos tentar construir um exemplo para mostrar que isso é possível.
Passo 4
Considere . Sabemos que é irracional. Vamos agora definir . Então, também é irracional.
Passo 5
Vamos calcular o produto :
Aqui, é um número racional, já que pode ser expresso como .
Passo 6
Portanto, encontramos dois números irracionais e cujo produto é igual a , um número racional.
Resposta
A proposição é verdadeira. Existem dois números irracionais, como e , cujo produto é o número racional .