Suponha A3 times 3 tal que
A[r2 4 -4]=[r2 2 -14], A[r2 3 -3]=[r2 1 -11] e
A[r-2 -2 2]=[r-2 0 8]
Assinale a afirmação verdadeira:
(A) Pode-se afirmar que A x=b não tem solução para certos valores do vetor b e que quando existe solução ela não é única.
(B) Não se pode afirmar se A x=b tem solução para qualquer b.
© Pode-se afirmar que A x=b tem solução para qualquer b, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Pode-se afirmar que A x=b tem solução única para qualquer b.
(E) Pode-se afirmar que A x=b não tem solução para certos valores do vetor b, mas quando existe solução ela é única.
(F) Não existe matriz A que satisfaça às condições do enunciado.
(G) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma matriz de tamanho que transforma certos vetores em outros vetores específicos. A matéria aqui é Álgebra Linear, especialmente focando em sistemas lineares e transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como essas transformações funcionam e o que elas nos dizem sobre as soluções do sistema .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as transformações dadas:
A2 4 -4 = 2 2 -14, A2 3 -3 = 2 1 -11, A-2 -2 2 = -2 0 8
Isso nos fornece três equações que a matriz deve satisfazer. Cada coluna da matriz multiplica os componentes dos vetores de entrada para produzir os vetores de saída.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Se for invertível, então para todo vetor , existe uma única solução para .
No entanto, se não for invertível, isso significa que o sistema pode não ter solução para alguns ou ter infinitas soluções quando houver solução.

Passo 4

Vamos observar as transformações dadas para ver se elas indicam que não é invertível. Se os vetores de entrada forem linearmente independentes e os vetores de saída também forem linearmente independentes, é provável que seja invertível. Mas se houver dependência linear, não será invertível.
Sem calcular o determinante, percebemos que as transformações podem não cobrir todo o espaço, indicando que pode não ser invertível. Portanto, para alguns vetores , o sistema não terá solução, e mesmo quando tiver, a solução não será única.

Resposta

(A) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor e que quando existe solução ela não é única.

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