Ache um vetor unitário paralelo ao plano x y e perpendicular ao vetor u=3 i-4 j+k

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar um vetor unitário que seja paralelo ao plano e perpendicular ao vetor . A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente noções sobre vetores, planos e produtos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como vetores se relacionam com planos e como encontrar vetores perpendiculares usando produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser paralelo ao plano . Um vetor paralelo a esse plano não tem componente na direção . Então, podemos representá-lo como , onde e são números reais.

Passo 3

Agora, precisamos que esse vetor v cdot u = 0 seja perpendicular ao vetor (ai + bj) cdot (3i - 4j + k) = 0 . Quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Ou seja:
Substituindo e :

Passo 4

Calculando o produto escalar:
a cdot 3 + b cdot (-4) + 0 cdot 1 = 0
Simplificando:
3a - 4b = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre 3a = 4b Rightarrow a = 43b e a = 43 times 3 = 4 :
v = 4i + 3j
Podemos escolher um valor para e encontrar . Para simplificar, vamos escolher :
Então, nosso vetor fica:

Passo 6

Agora, precisamos que |v| = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 seja unitário, ou seja, tenha comprimento 1. Para isso, calculamos o módulo de :

Passo 7

Para tornar uv = 15(4i + 3j) = 45i + 35j um vetor unitário, dividimos cada componente pelo seu módulo:

Resposta

O vetor unitário paralelo ao plano uv = 45i + 35j e perpendicular ao vetor é:

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