Ache um vetor unitário paralelo ao plano
e perpendicular ao vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar um vetor unitário que seja paralelo ao plano
e perpendicular ao vetor
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial, especificamente noções sobre vetores, planos e produtos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como vetores se relacionam com planos e como encontrar vetores perpendiculares usando produtos vetoriais e escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser paralelo ao plano
. Um vetor paralelo a esse plano não tem componente na direção
. Então, podemos representá-lo como
, onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, precisamos que esse vetor
seja perpendicular ao vetor
. Quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero. Ou seja:
Substituindo
e
:
Passo 4
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Podemos escolher um valor para
e encontrar
. Para simplificar, vamos escolher
:
Então, nosso vetor fica:
Passo 6
Agora, precisamos que
seja unitário, ou seja, tenha comprimento 1. Para isso, calculamos o módulo de
:
Passo 7
Para tornar
um vetor unitário, dividimos cada componente pelo seu módulo:
Resposta
O vetor unitário paralelo ao plano
e perpendicular ao vetor
é: