Encotre um vetor unitário perpendicular ao plano que contém os vetores u=2 i+5 j+2 k e v= 7 i-2 j+k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores u = 2,i + 5,j + 2,k e v = 7,i - 2,j + k. Para isso, vamos usar o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a dois vetores dados, e depois vamos normalizar esse vetor para que ele seja unitário (ou seja, tenha comprimento 1).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial de dois vetores a = a1,i + a2,j + a3,k e b = b1,i + b2,j + b3,k é dado por:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Vamos aplicar isso aos vetores u e v:
u times v = i & j & k 2 & 5 & 2 7 & -2 & 1

Passo 3

Calculando o determinante, temos:
u times v = i cdot (5 cdot 1 - 2 cdot (-2)) - j cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 7) + k cdot (2 cdot (-2) - 5 cdot 7)
Simplificando cada componente:
u times v = i cdot (5 + 4) - j cdot (2 - 14) + k cdot (-4 - 35)
u times v = 9,i + 12,j - 39,k

Passo 4

Agora temos o vetor perpendicular ao plano: w = 9,i + 12,j - 39,k. Mas precisamos de um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos calcular o módulo de w.
O módulo de um vetor w = a,i + b,j + c,k é dado por:
|w| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando:
|w| = raiz9^2 + 12^2 + (-39)^2 = raiz81 + 144 + 1521 = raiz1746

Passo 5

Simplificando raiz1746, podemos fatorar 1746 para extrair fatores quadrados:
1746 = 6 times 291 = 6 times 3 times 97 = 18 times 97
Como 97 é primo, não podemos simplificar mais. Então,
|w| = raiz1746 approx 41.78

Passo 6

Finalmente, para obter o vetor unitário n, dividimos cada componente de w pelo seu módulo:
n = 1|w| cdot w = 141.78 cdot (9,i + 12,j - 39,k)
Simplificando:
n approx ( 941.78 )i + ( 1241.78 )j + ( -3941.78 )k
n approx 0.216,i + 0.287,j - 0.935,k

Resposta

Um vetor unitário perpendicular ao plano é aproximadamente n = 0.216,i + 0.287,j - 0.935,k.

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