Considere V um espaço vetorial sobre o corpo K. Mostre que:
d) Sejam u=(1+i, 2 i) e w=(1,1+i) de C^2, mostre que são linearmente dependentes sobre o corpo complexo C mas linearmente independentes sobre o corpo real R.

Passo 1

Então, temos um exercício de Álgebra Linear que envolve espaços vetoriais sobre diferentes corpos, no caso os números complexos C e os números reais R. A questão nos pede para mostrar que os vetores u = (1+i, 2i) e w = (1, 1+i) em C^2 são linearmente dependentes quando trabalhamos sobre o corpo complexo, mas linearmente independentes quando trabalhamos sobre o corpo real. Vamos precisar entender o que significa ser linearmente dependente ou independente e como isso pode mudar dependendo do corpo que estamos usando.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa ser linearmente dependente sobre um corpo. Dois vetores são linearmente dependentes sobre um corpo se existe uma combinação linear deles igual ao vetor zero, onde os coeficientes dessa combinação estão nesse corpo, e pelo menos um dos coeficientes não é zero.
No nosso caso, queremos verificar se existe algum número complexo a e b, não ambos zero, tais que:
a cdot u + b cdot w = (0, 0)
Substituindo os vetores u e w:
a cdot (1+i, 2i) + b cdot (1, 1+i) = (0, 0)
Isso resulta em um sistema de equações:
a(1+i) + b(1) = 0 a(2i) + b(1+i) = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar a e b.

Passo 3

Resolvendo a primeira equação:
a(1+i) + b = 0 a = -b1+i
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador por 1-i (o conjugado de 1+i):
a = -b(1-i)(1+i)(1-i) = -b(1-i)1 + 1 = -b(1-i)2
Agora, substituímos a na segunda equação:
(-b(1-i)2)2i + b(1+i) = 0 - b(1-i)i + b(1+i) = 0 - b(i - i^2) + b(1+i) = 0 - b(i + 1) + b(1+i) = 0 - b(i + 1) + b(1 + i) = 0 0 = 0
Isso significa que existe uma solução não trivial para a e b, o que prova que os vetores são linearmente dependentes sobre C.

Passo 4

Agora, vamos verificar a independência linear sobre o corpo real R. Aqui, os coeficientes a e b devem ser números reais. Precisamos mostrar que a única solução para:
a cdot u + b cdot w = (0, 0)
é a = 0 e b = 0.
Escrevendo as equações:
a(1+i) + b = 0 a(2i) + b(1+i) = 0
Separando as partes reais e imaginárias:
Primeira equação:
a cdot 1 + b = 0 (parte real) a cdot i = 0 (parte imagin��ria)
Segunda equação:
0 + 0 = 0 (parte real) a cdot 2i + b cdot i = 0 (parte imaginária) á
Da primeira equação, temos a + b = 0 e a = 0 (da parte imaginária). Se a = 0, então b = 0. Assim, a única solução é a = 0 e b = 0, mostrando que os vetores são linearmente independentes sobre R.

Resposta

Portanto, os vetores u = (1+i, 2i) e w = (1, 1+i) são linearmente dependentes sobre o corpo complexo C, mas linearmente independentes sobre o corpo real R.

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