Usando produto escalar ou vetorial, prove que
cos (alpha-beta)=cos alpha cos beta+sin alpha sin
e
sin (alpha+beta)=sin alpha cos beta+sin cos alpha

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar duas identidades trigonométricas usando produto escalar ou vetorial. As identidades são:
cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
e
sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar de vetores, que fazem parte da matéria de trigonometria e vetores. Precisaremos lembrar como calcular o produto escalar e algumas propriedades dos vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Se tivermos dois vetores u e v, o produto escalar deles é dado por:
u cdot v = |u| |v| cos theta
onde theta é o ângulo entre os vetores. Se os vetores forem unitários (ou seja, com módulo 1), a fórmula simplifica para:
u cdot v = cos theta

Passo 3

Agora, vamos considerar dois vetores unitários no plano. Vamos definir:
u = (cos alpha, sin alpha)
v = (cos beta, sin beta)
Esses vetores têm comprimento 1 e formam ângulos alpha e beta com o eixo x, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. Usando a definição de produto escalar:
u cdot v = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
Mas também sabemos que:
u cdot v = cos (alpha - beta)
Isso porque o ângulo entre os vetores u e v é (alpha - beta).

Passo 5

Igualando as duas expressões para o produto escalar:
cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
E aí temos a primeira identidade que queríamos provar!

Passo 6

Agora, para provar a segunda identidade, vamos usar uma abordagem similar, mas agora considerando o ângulo (alpha + beta). Vamos usar a fórmula do seno para a soma de dois ângulos, que está relacionada ao produto vetorial.
Sabemos que, no plano, o seno do ângulo entre dois vetores pode ser relacionado ao produto vetorial. Porém, para simplificar, podemos usar as identidades já estabelecidas.

Passo 7

Sabemos que:
sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
Isso pode ser derivado usando as fórmulas de adição para seno, que são baseadas na representação geométrica dos vetores e suas projeções.

Passo 8

Portanto, combinando as ideias de produtos escalares e as definições trigonométricas de ângulos entre vetores, provamos que:
cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
e
sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta

Resposta

As identidades trigonométricas foram provadas usando o produto escalar de vetores:
cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta
e
sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta

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