Usando produto escalar ou vetorial, prove que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar duas identidades trigonométricas usando produto escalar ou vetorial. As identidades são:
e
Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar de vetores, que fazem parte da matéria de trigonometria e vetores. Precisaremos lembrar como calcular o produto escalar e algumas propriedades dos vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Se tivermos dois vetores
e
, o produto escalar deles é dado por:
onde
é o ângulo entre os vetores. Se os vetores forem unitários (ou seja, com módulo 1), a fórmula simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos considerar dois vetores unitários no plano. Vamos definir:
Esses vetores têm comprimento 1 e formam ângulos
e
com o eixo x, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
. Usando a definição de produto escalar:
Mas também sabemos que:
Isso porque o ângulo entre os vetores
e
é
.
Passo 5
Igualando as duas expressões para o produto escalar:
E aí temos a primeira identidade que queríamos provar!
Passo 6
Agora, para provar a segunda identidade, vamos usar uma abordagem similar, mas agora considerando o ângulo
. Vamos usar a fórmula do seno para a soma de dois ângulos, que está relacionada ao produto vetorial.
Sabemos que, no plano, o seno do ângulo entre dois vetores pode ser relacionado ao produto vetorial. Porém, para simplificar, podemos usar as identidades já estabelecidas.
Passo 7
Sabemos que:
Isso pode ser derivado usando as fórmulas de adição para seno, que são baseadas na representação geométrica dos vetores e suas projeções.
Passo 8
Portanto, combinando as ideias de produtos escalares e as definições trigonométricas de ângulos entre vetores, provamos que:
e
Resposta
As identidades trigonométricas foram provadas usando o produto escalar de vetores:
e