Dadas as transformações lineares .
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a transformação linear definida por . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares, que basicamente transformam vetores de um espaço vetorial para outro de forma que respeitam a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar essa transformação na forma de uma matriz, encontrar o núcleo (conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) e a imagem (conjunto de todos os vetores possíveis que pode produzir).
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Sabemos que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho .
A transformação pode ser escrita como:
Então, a matriz que representa é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de T(x, y, z) = x + y y + z = 0 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x + y = 0 y + z = 0 em x = -y z = -y que são mapeados para o vetor zero em -y y -y = y -1 1 -1 :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, podemos expressar e em termos de :
Então, todos os vetores no núcleo têm a forma:
Portanto, o núcleo de é gerado pelo vetor .
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em .
Como a matriz tem duas linhas, a imagem de será um subespaço de . Precisamos verificar se as linhas de são linearmente independentes.
As linhas de são e . Para verificar a independência linear, vemos se uma linha pode ser obtida multiplicando a outra por algum escalar. Claramente, isso não é possível, então as linhas são linearmente independentes.
Portanto, a imagem de é todo o espaço , já que temos duas direções independentes em duas dimensões.
Passo 5
Finalmente, podemos resumir nossas descobertas:
Matriz da transformação A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 :
-1 1 -1
Núcleo de :
Imagem de :
Resposta
A transformação linear 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 é representada pela matriz
Seu núcleo é o conjunto de vetores múltiplos de , e sua imagem é todo o espaço .