Seja
o conjunto de todos os pares ordenados
de números reais. Determine se
é um espaço vetorial se a soma ((d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
, que consiste em todos os pares ordenados
de números reais, é um espaço vetorial. Para isso, vamos analisar as operações de soma e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
- Soma:
- Multiplicação por escalar:
Vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial, que são as regras que definem como as operações de soma e multiplicação devem se comportar. Vamos verificar se essas regras são atendidas pelas operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns axiomas básicos de um espaço vetorial:
- Associatividade da soma:
- Comutatividade da soma:
- Elemento neutro da soma: Existe um vetor zero
tal que - Elemento inverso da soma: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Nosso objetivo é verificar se todas essas regras são satisfeitas pelas operações definidas no enunciado.
Passo 3
Vamos começar verificando a comutatividade da soma, que é um dos axiomas. Precisamos ver se
.
Aplicando a definição:
Como a soma real é comutativa (
) e o valor absoluto não altera isso, temos:
Portanto, a comutatividade da soma é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar o elemento neutro da soma, que deve ser um vetor
tal que
.
Pela definição da soma:
Para que isso seja igual a
, precisaríamos que
e
para todos os
, o que só é verdade se
e
forem não negativos. Porém, como
inclui todos os números reais, isso nem sempre acontece.
Isso significa que não existe um elemento neutro universal que funcione para todos os vetores em
.
Passo 5
Já vimos que falta o elemento neutro da soma, mas vamos verificar mais um axioma para reforçar nossa conclusão. Vamos olhar para a associatividade da soma, que diz que
.
Vamos considerar três vetores:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Nesse caso, a associatividade parece ser satisfeita, mas como já identificamos a falta do elemento neutro, já sabemos que
não é um espaço vetorial.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial.