Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x1, x2) de números reais. Determine se V é um espaço vetorial se a soma ((d) (x1, x2)+(y1, y2)=(|x1+y1|,|x2+y2|), a(x1, x2)= (a x1, a x2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto , que consiste em todos os pares ordenados de números reais, é um espaço vetorial. Para isso, vamos analisar as operações de soma e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
  • Soma:
  • Multiplicação por escalar:
Vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial, que são as regras que definem como as operações de soma e multiplicação devem se comportar. Vamos verificar se essas regras são atendidas pelas operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar alguns axiomas básicos de um espaço vetorial:
  1. Associatividade da soma:
  2. Comutatividade da soma:
  3. Elemento neutro da soma: Existe um vetor zero tal que
  4. Elemento inverso da soma: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Nosso objetivo é verificar se todas essas regras são satisfeitas pelas operações definidas no enunciado.

Passo 3

Vamos começar verificando a comutatividade da soma, que é um dos axiomas. Precisamos ver se (x1, x2) + (y1, y2) = (|x1 + y1|, |x2 + y2|) .
Aplicando a definição:
(y1, y2) + (x1, x2) = (|y1 + x1|, |y2 + x2|)
(|x1 + y1|, |x2 + y2|) = (|y1 + x1|, |y2 + x2|)
Como a soma real é comutativa ( ) e o valor absoluto não altera isso, temos:
Portanto, a comutatividade da soma é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar o elemento neutro da soma, que deve ser um vetor (x1, x2) + (01, 02) = (|x1 + 01|, |x2 + 02|) = (|x1|, |x2|) tal que .
Pela definição da soma:
Para que isso seja igual a , precisaríamos que e para todos os , o que só é verdade se e forem não negativos. Porém, como inclui todos os números reais, isso nem sempre acontece.
Isso significa que não existe um elemento neutro universal que funcione para todos os vetores em .

Passo 5

Já vimos que falta o elemento neutro da soma, mas vamos verificar mais um axioma para reforçar nossa conclusão. Vamos olhar para a associatividade da soma, que diz que u = (1, 1), v = (-1, -1), w = (1, 1) .
Vamos considerar três vetores:
u + v = (|1 + (-1)|, |1 + (-1)|) = (|0|, |0|) = (0, 0)
Calculando (u + v) + w = (0, 0) + (1, 1) = (|0 + 1|, |0 + 1|) = (1, 1) :
v + w = (|(-1) + 1|, |(-1) + 1|) = (|0|, |0|) = (0, 0)
u + (v + w) = (1, 1) + (0, 0) = (|1 + 0|, |1 + 0|) = (1, 1)
Agora, calculando :
Nesse caso, a associatividade parece ser satisfeita, mas como já identificamos a falta do elemento neutro, já sabemos que não é um espaço vetorial.

Resposta

Não, o conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial.

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