Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Determine se é um espaço vetorial se a soma ((d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto , que consiste em todos os pares ordenados de números reais, é um espaço vetorial. Para isso, vamos analisar as operações de soma e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
Soma:
Multiplicação por escalar:
Vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial, que são as regras que definem como as operações de soma e multiplicação devem se comportar. Vamos verificar se essas regras são atendidas pelas operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns axiomas básicos de um espaço vetorial:
Associatividade da soma:
Comutatividade da soma:
Elemento neutro da soma: Existe um vetor zero tal que
Elemento inverso da soma: Para todo , existe tal que
Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Nosso objetivo é verificar se todas essas regras são satisfeitas pelas operações definidas no enunciado.
Passo 3
Vamos começar verificando a comutatividade da soma, que é um dos axiomas. Precisamos ver se .
Aplicando a definição:
Como a soma real é comutativa () e o valor absoluto não altera isso, temos:
Portanto, a comutatividade da soma é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar o elemento neutro da soma, que deve ser um vetor tal que .
Pela definição da soma:
Para que isso seja igual a , precisaríamos que e para todos os , o que só é verdade se e forem não negativos. Porém, como inclui todos os números reais, isso nem sempre acontece.
Isso significa que não existe um elemento neutro universal que funcione para todos os vetores em .
Passo 5
Já vimos que falta o elemento neutro da soma, mas vamos verificar mais um axioma para reforçar nossa conclusão. Vamos olhar para a associatividade da soma, que diz que .
Vamos considerar três vetores:
Calculando :
Agora, calculando :
Nesse caso, a associatividade parece ser satisfeita, mas como já identificamos a falta do elemento neutro, já sabemos que não é um espaço vetorial.
Resposta
Não, o conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial.