Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
l2 x+3 y-z=6 2 x-y+2 z=-8 3 x-y+z=-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando três métodos diferentes: escalonamento (que é como fazer uma simplificação passo a passo), a matriz inversa e a Regra de Cramer. Primeiro, vamos entender o que temos:
2x + 3y - z = 6 2x - y + 2z = -8 3x - y + z = -7
Vamos precisar de álgebra linear, operações com matrizes e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Método de Escalonamento (Eliminação de Gauss):
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
2 & 3 & -1 & | & 6 2 & -1 & 2 & | & -8 3 & -1 & 1 & | & -7
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior.

Passo 3

Vamos eliminar o (2-2)x + (-1-3)y + (2 - (-1))z = -8 - 6 Rightarrow 0x -4y +3z = -14 das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
Linha 2 - Linha 1:
3 - 3 = 0x, -1 - 92 = -112y, 1 - 32 = -12z, -7 - 9 = -16
Linha 3 - 2 & 3 & -1 & | & 6 0 & -4 & 3 & | & -14 0 & -112 & -12 & | & -16 Linha 1:
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda equação dividindo por -4:
y - 34z = 144 Rightarrow y - 34z = 3.5
Substituímos -112(3.5 + 34z) - 12z = -16 na terceira equação:
-112 times 3.5 - 112 times 34z - 12z = -16
Resolvendo isso:
-19.25 - 338z - 48z = -16
-19.25 - 378z = -16
-378z = 3.25
z = 3.25 times 8-37 Rightarrow z = -0.7

Passo 5

Com y - 34(-0.7) = 3.5 Rightarrow y + 0.525 = 3.5 Rightarrow y = 2.975 , substituímos na equação de 2x + 3(2.975) - (-0.7) = 6 Rightarrow 2x + 8.925 + 0.7 = 6 Rightarrow 2x = -3.625 Rightarrow x = -1.8125 :
Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :

Passo 6

Método da Inversa:
Primeiro, montamos a matriz dos coeficientes A = 2 & 3 & -1 2 & -1 & 2 3 & -1 & 1 , B = 6 -8 -7 e o vetor das constantes det(A) = 2(-1 times 1 - 2 times -1) - 3(2 times 1 - 2 times 3) -1(2 times -1 - (-1) times 3) = 2(1 + 2) - 3(2 -6) -1(-2 +3) = 6 + 12 -1 = 17 :
A^-1 = 117 1 & 5 & 5 -5 & -1 & 7 5 & -7 & -1
Vamos encontrar a matriz inversa X = A^-1B = 117 1 & 5 & 5 -5 & -1 & 7 5 & -7 & -1 6 -8 -7 = -1.8125 2.975 -0.7 . Calculando o determinante de :
Como , a inversa existe.
Calculando (passos abreviados):
Agora, multiplicamos por :

Passo 7

Método de Cramer:
Calculamos o determinante da matriz Ax = 6 & 3 & -1 -8 & -1 & 2 -7 & -1 & 1 , det(Ax) = 17 times (-1.8125) = -31 , que já vimos ser 17.
Para Ay = 2 & 6 & -1 2 & -8 & 2 3 & -7 & 1 , det(Ay) = 17 times 2.975 = 50.575 , substituímos a primeira coluna por y = det(Ay)det(A) = 50.57517 approx 2.975 :
Az = 2 & 3 & 6 2 & -1 & -8 3 & -1 & -7 , det(Az) = 17 times (-0.7) = -11.9
Então, z = det(Az)det(A) = -11.917 approx -0.7 .
Fazemos o mesmo para e :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -1.8125, y = 2.975, z = -0.7

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