Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando três métodos diferentes: escalonamento (que é como fazer uma simplificação passo a passo), a matriz inversa e a Regra de Cramer. Primeiro, vamos entender o que temos:
Vamos precisar de álgebra linear, operações com matrizes e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Método de Escalonamento (Eliminação de Gauss):
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior.
Passo 3
Vamos eliminar o das equações 2 e 3. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira.
Linha 2 - Linha 1:
Linha 3 - Linha 1:
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda equação dividindo por -4:
Substituímos na terceira equação:
Resolvendo isso:
Passo 5
Com , substituímos na equação de :
Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :
Passo 6
Método da Inversa:
Primeiro, montamos a matriz dos coeficientes e o vetor das constantes :
Vamos encontrar a matriz inversa . Calculando o determinante de :
Como , a inversa existe.
Calculando (passos abreviados):
Agora, multiplicamos por :
Passo 7
Método de Cramer:
Calculamos o determinante da matriz , que já vimos ser 17.