Resolva:
j)
.
6 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
a)
j)
6 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
a)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão
, onde:
Passo 3
Em seguida, encontramos o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para facilitar a resolução.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso ocorre porque
.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
.
Passo 7
Calculamos as integrais do lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Por fim, isolamos
dividindo todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
é função apenas da razão
).
j)
5 - Resolva:
a)
j)
5 - Resolva:
a)
Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse
em torno do eixo
.
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
b)
9 - Encontre o valor de para o qual a solução
do problema de valor inicial
b)
9 - Encontre o valor de
permanece finita quando
.
Calcule
, onde
e
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
,
.