Resolva:
j) 2xy dy + (x^2 + y^2) dx = 0.
6 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
a) y' + 3y = t + e^(-2t)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão , onde:

Passo 3

Em seguida, encontramos o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para facilitar a resolução.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso ocorre porque .

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para .

Passo 7

Calculamos as integrais do lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Por fim, isolamos dividindo todos os termos por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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