( porto) Calcular , em que é a fronteira da região entre os gráficos de e e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região entre dois círculos: um com raio 1 ( ) e outro com raio 2 ( ). O campo vetorial dado é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, substituindo esses valores na expressão dentro da integral dupla:
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 6

A região está entre os círculos e . É mais fácil trabalhar em coordenadas polares para essa região. Em coordenadas polares, e , e o elemento de área .

Passo 7

Vamos expressar em coordenadas polares:
Então, a expressão dentro da integral fica:

Passo 8

Agora, vamos configurar os limites de integração. O raio varia de 1 a 2, e o ângulo varia de 0 a . Então, a integral dupla em coordenadas polares é:

Passo 9

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:

Passo 10

Primeiro, resolvemos a primeira integral:
A integral de de 0 a é zero, porque a função é ímpar sobre o intervalo completo.
Então, a primeira parte da integral é zero.

Passo 11

Agora, resolvemos a segunda integral:

Passo 12

Calculando a última integral:

Resposta

A integral é igual a .

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