( 1,0 porto) Calcular ointC F d r, em que C é a fronteira da região entre os gráficos de x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 ; e F(x, y)=(x+y) i+(y x^2) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região entre dois círculos: um com raio 1 ( ) e outro com raio 2 ( ). O campo vetorial dado é . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar P(x, y) = x + y e Q(x, y) = y x^2 no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x (y x^2) = 2xy :
partial Ppartial y = partialpartial y (x + y) = 1
Calculando :

Passo 5

Agora, substituindo esses valores na expressão dentro da integral dupla:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2xy - 1
Então, nossa integral dupla fica:
integral duplaD (2xy - 1) dA

Passo 6

A região está entre os círculos e . É mais fácil trabalhar em coordenadas polares para essa região. Em coordenadas polares, e , e o elemento de área .

Passo 7

Vamos expressar 2xy = 2 (r cos theta)(r sin theta) = 2 r^2 cos theta sin theta em coordenadas polares:
-1 = -1
2 r^2 cos theta sin theta - 1
Então, a expressão dentro da integral fica:

Passo 8

Agora, vamos configurar os limites de integração. O raio integral0^2pi integral1^2 (2 r^2 cos theta sin theta - 1) r dr dtheta varia de 1 a 2, e o ângulo varia de 0 a . Então, a integral dupla em coordenadas polares é:

Passo 9

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^2pi integral1^2 2 r^3 cos theta sin theta dr dtheta - integral0^2pi integral1^2 r dr dtheta

Passo 10

Primeiro, resolvemos a primeira integral:
integral0^2pi cos theta sin theta dtheta times integral1^2 2 r^3 dr
A integral de de 0 a é zero, porque a função é ímpar sobre o intervalo completo.
Então, a primeira parte da integral é zero.

Passo 11

Agora, resolvemos a segunda integral:
- integral0^2pi integral1^2 r dr dtheta = - integral0^2pi [ 12 r^2 ]1^2 dtheta = - integral0^2pi ( 12 (4) - 12 (1) ) dtheta = - integral0^2pi 32 dtheta

Passo 12

Calculando a última integral:
- 32 integral0^2pi dtheta = - 32 times 2pi = -3pi

Resposta

A integral é igual a .

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