(
porto) Calcular
, em que
é a fronteira da região entre os gráficos de
e
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira da região entre dois círculos: um com raio 1 (
) e outro com raio 2 (
). O campo vetorial dado é
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de
. Ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, substituindo esses valores na expressão dentro da integral dupla:
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
A região
está entre os círculos
e
. É mais fácil trabalhar em coordenadas polares para essa região. Em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
.
Passo 7
Vamos expressar
em coordenadas polares:
Então, a expressão dentro da integral fica:
Passo 8
Agora, vamos configurar os limites de integração. O raio
varia de 1 a 2, e o ângulo
varia de 0 a
. Então, a integral dupla em coordenadas polares é:
Passo 9
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 10
Primeiro, resolvemos a primeira integral:
A integral de
de 0 a
é zero, porque a função é ímpar sobre o intervalo completo.
Então, a primeira parte da integral é zero.
Passo 11
Agora, resolvemos a segunda integral:
Passo 12
Calculando a última integral:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Devemos construir um tanque de fundo e paredes retangulares, aberto no topo. O custo da construção do metro quadrado de fundo é de
e o do metro quadrado das laterais é de
. Usando multiplicador de Lagrange, calcule as dimensões de um tanque desses de volume máximo que conseguimos construir dispondo de
para cobrir o custo da construção do fundo e dos lados. Qual é esse volume máximo?
( 2,0 pontos) Sejam as superficies
e
, cujas equaçöes sao dadas por
e
, respectivamente. Utilizando coordenadas esféricas, calcule o volume da região limitada superiormente por
e inferiormente por
Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse
em torno do eixo
.