Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsoide x^2 + 9*y^2 + 4*z^2 = 1, se as faces devem ser paralelas aos eixos coordenados.

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos encontrar o volume do maior paralelepípedo que cabe dentro do elipsoide definido por x^2 + 9*y^2 + 4*z^2 = 1, onde as faces do paralelepípedo são paralelas aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar cálculo para maximizar o volume sujeito à restrição do elipsoide.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o volume V do paralelepípedo. Como as faces são paralelas aos eixos, podemos considerar que os vértices estão nas coordenadas (x, y, z), , , etc. Então, o volume é dado por:

Passo 3

Agora, precisamos maximizar essa função de volume aguardando que as coordenadas (x, y, z) estejam dentro do elipsoide x^2 + 9*y^2 + 4*z^2 = 1. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função sujeita a certas restrições.

Passo 4

Definimos a função Lagrangiana da seguinte maneira:
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange que nos ajuda a incorporar a restrição do elipsoide na otimização.

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a x, y, z e lambda, e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações acima. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para lambda:

Passo 7

Da terceira equação:
Igualando com a expressão anterior de lambda:

Passo 8

Agora, temos duas relações:
Substituindo na equação do elipsoide:
Usando :

Passo 9

Agora, encontramos z, então:

Passo 10

Finalmente, substituímos os valores de x, y, e z no volume:

Resposta

O volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsoide é unidades cúbicas.

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