Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsoide
, se as faces devem ser paralelas aos eixos coordenados.
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos encontrar o volume do maior paralelepípedo que cabe dentro do elipsoide definido por
, onde as faces do paralelepípedo são paralelas aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar cálculo para maximizar o volume sujeito à restrição do elipsoide.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o volume
do paralelepípedo. Como as faces são paralelas aos eixos, podemos considerar que os vértices estão nas coordenadas
,
,
, etc. Então, o volume é dado por:
Passo 3
Agora, precisamos maximizar essa função de volume
aguardando que as coordenadas
estejam dentro do elipsoide
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função sujeita a certas restrições.
Passo 4
Definimos a função Lagrangiana da seguinte maneira:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que nos ajuda a incorporar a restrição do elipsoide na otimização.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
,
e
, e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações acima. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 7
Da terceira equação:
Igualando com a expressão anterior de
:
Passo 8
Agora, temos duas relações:
Substituindo na equação do elipsoide:
Usando
:
Passo 9
Agora, encontramos
, então:
Passo 10
Finalmente, substituímos os valores de
,
, e
no volume:
Resposta
O volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsoide é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Dados
e
. Encontre a derivada de
em
na direção do vetor
.
Determine os pontos da curva
mais afastados e os mais próximos da origem.
Um tanque para estocagem de oxigênio líquido em um hospital deve ter a forma de um cilindro circular reto de raio
e de altura
, com um hemisfério em cada extremidades. Determine o volume total do tanque em função da altura
e do raio
.
Use o teste da razão ou da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.