Dados f = cos(x) * sen(y) e P0(5/4, pi/4). Encontre a derivada de f em P0 na direção do vetor v = (3, 4).

Passo 1

Beleza, a gente tem a função e precisamos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o vetor em um vetor unitário, porque a derivada direcional precisa ser calculada na direção de um vetor com comprimento 1. A fórmula para o vetor unitário é:
Calculando o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, em :
Sabemos que , então:
Agora, em :

Passo 5

A seguir, formamos o vetor gradiente no ponto , que é composto pelas derivadas parciais calculadas:

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional na direção de é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

Após simplificar, a derivada direcional de em na direção do vetor é:

Exercícios relacionados

Determine os pontos da curva x^6 + y^6 = 1 mais afastados e os mais próximos da origem.
Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de z = x^(1/2) + y^(1/2), no ponto (4, 9, 5).
Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsoide x^2 + 9*y^2 + 4*z^2 = 1, se as faces devem ser paralelas aos eixos coordenados.
Um tanque para estocagem de oxigênio líquido em um hospital deve ter a forma de um cilindro circular reto de raio r e de altura h, com um hemisfério em cada extremidades. Determine o volume total do tanque em função da altura h e do raio r.