Dados
e
. Encontre a derivada de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, a gente tem a função e precisamos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o vetor
em um vetor unitário, porque a derivada direcional precisa ser calculada na direção de um vetor com comprimento 1. A fórmula para o vetor unitário
é:
Calculando o módulo de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Primeiro,
em
:
Sabemos que , então:
Agora,
em
:
Passo 5
A seguir, formamos o vetor gradiente
no ponto
, que é composto pelas derivadas parciais calculadas:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional
na direção de
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
Após simplificar, a derivada direcional de
em
na direção do vetor
é: