Use o teste da razão ou da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série converge ou diverge. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite da razão entre o próximo termo e o termo atual for menor que 1, a série converge. Ou seja:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular a razão an+1an = (n+1)!(n+1)^n+1 times n^nn! para a nossa série. Aqui, an+1an = (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1 . Então:
Simplificando:
Passo 4
Vamos simplificar mais essa expressão. Podemos reescrever an+1an = (n+1) cdot n^n(n+1) cdot (n+1)^n = ( nn+1 )^n como . Assim:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty ( nn+1 )^n = limn to infty ( 1 - 1n+1 )^n tende ao infinito:
limn to infty ( 1 - 1n )^n = 1e
Sabemos que:
Portanto, nosso limite .
Passo 6
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.