Use o teste da razão ou da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty n!n^n
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão, que ajuda a determinar se uma série converge ou diverge. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se o limite da razão entre o próximo termo e o termo atual for menor que 1, a série converge. Ou seja:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an = (n+1)!(n+1)^n+1 times n^nn! para a nossa série. Aqui, an+1an = (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1 . Então:
Simplificando:

Passo 4

Vamos simplificar mais essa expressão. Podemos reescrever an+1an = (n+1) cdot n^n(n+1) cdot (n+1)^n = ( nn+1 )^n como . Assim:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty ( nn+1 )^n = limn to infty ( 1 - 1n+1 )^n tende ao infinito:
limn to infty ( 1 - 1n )^n = 1e
Sabemos que:
Portanto, nosso limite .

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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