Ache o volume do menor sólido delimitado por
e
. Esboce o sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do menor sólido delimitado por
e
. Aqui, estamos lidando com coordenadas esféricas, que são usadas para descrever posições no espaço usando a distância do ponto à origem (
), o ângulo com o eixo positivo z (
) e o ângulo no plano xy (
). Para resolver, vamos precisar usar integrais em coordenadas esféricas para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as superfícies que delimitam o sólido. A equação
representa uma esfera com raio 2 centrada na origem. Já a equação
representa um plano horizontal que corta a esfera. Nosso objetivo é encontrar o volume da parte da esfera que está acima desse plano.
Passo 3
Para calcular o volume nessa região, vamos usar a fórmula de volume em coordenadas esféricas:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Como
varia de 0 até 2 (o raio da esfera),
varia de 0 até
(dando uma volta completa em torno do eixo z), e
varia de 0 até um certo ângulo que corresponde a
na esfera.
Passo 5
Para encontrar o limite para
, usamos a relação
. Como
e
, temos:
Então,
varia de 0 até
.
Passo 6
Agora, montamos a integral com os limites determinados:
Passo 7
Vamos resolver a integral começando por
:
Passo 8
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 9
Por último, integramos em relação a
:
Passo 10
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
O volume do menor sólido delimitado por
e
é
unidades cúbicas.