Ache o volume do menor sólido delimitado por e . Esboce o sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do menor sólido delimitado por e . Aqui, estamos lidando com coordenadas esféricas, que são usadas para descrever posições no espaço usando a distância do ponto à origem ( ), o ângulo com o eixo positivo z ( ) e o ângulo no plano xy ( ). Para resolver, vamos precisar usar integrais em coordenadas esféricas para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as superfícies que delimitam o sólido. A equação representa uma esfera com raio 2 centrada na origem. Já a equação representa um plano horizontal que corta a esfera. Nosso objetivo é encontrar o volume da parte da esfera que está acima desse plano.

Passo 3

Para calcular o volume nessa região, vamos usar a fórmula de volume em coordenadas esféricas:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Como varia de 0 até 2 (o raio da esfera), varia de 0 até (dando uma volta completa em torno do eixo z), e varia de 0 até um certo ângulo que corresponde a na esfera.

Passo 5

Para encontrar o limite para , usamos a relação . Como e , temos:
Então, varia de 0 até .

Passo 6

Agora, montamos a integral com os limites determinados:

Passo 7

Vamos resolver a integral começando por :

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 9

Por último, integramos em relação a :

Passo 10

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

O volume do menor sólido delimitado por e é unidades cúbicas.

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