Uma fábrica produz rolamentos (de forma cilíndrica) que são vendidos como tendo
de diâmetro e
de comprimento. Na verdade, o diâmetro X tem distribuição normal com média
e desvio-padrão
, enquanto o comprimento
tem distribuição normal com média
e desvio-padrão
. Supondo que X e Y sejam independentes, escreva a função densidade conjunta e faça seu gráfico. Determine a probabilidade de que um rolamento escolhido aleatoriamente da linha de produção tenha comprimento ou diâmetro que difiram dos valores médios em mais que
.
Distribuição normal:
, em que
é a média e
é o desvio-padrão. Veja Exemplo 8 - página 908 - Ed. 7 - do livro texto. Dica: Transforme a distribuição normal para distribuição normal padronizada, dessa forma será possível calcular a integral. Não faça
que nem o livro, isto é, não utilize um programa para calcular a integral, utilize técnicas que aprendemos na disciplina ou utilize tábuas de distribuições normais padronizadas.
Distribuição normal:
que nem o livro, isto é, não utilize um programa para calcular a integral, utilize técnicas que aprendemos na disciplina ou utilize tábuas de distribuições normais padronizadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre rolamentos que têm um diâmetro médio de 4,0 cm e comprimento médio de 6,0 cm. A gente sabe que tanto o diâmetro
quanto o comprimento
seguem uma distribuição normal, cada um com desvio-padrão de 0,01 cm. A nossa missão é escrever a função densidade conjunta desses dois, desenhar o gráfico e descobrir a probabilidade de que, ao escolher um rolamento aleatório, o diâmetro ou o comprimento difiram dos valores médios em mais de 0,02 cm. Para isso, vamos precisar saber sobre distribuições normais e como trabalhar com elas, incluindo transformação para a distribuição normal padronizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando duas variáveis são independentes, a função densidade conjunta é simplesmente o produto das funções densidade individuais. Então, temos:
Aqui,
é a função densidade do diâmetro
e
é a função densidade do comprimento
.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente as funções densidade individuais usando a fórmula da distribuição normal:
Passo 4
Multiplicando essas duas funções, a densidade conjunta fica:
Isso nos dá a função densidade conjunta de
e
.
Passo 5
Agora, para fazer o gráfico dessa função densidade conjunta, imagine uma superfície em 3D onde os eixos
e
representam o diâmetro e o comprimento, respectivamente, e o eixo
mostra a densidade. Como
e
são variáveis contínuas e independentes, o gráfico seria uma “colina” simétrica em torno dos pontos médios (4,0 cm para
e 6,0 cm para
).
Passo 6
Vamos agora calcular a probabilidade de que o diâmetro ou o comprimento difiram dos valores médios em mais de 0,02 cm. Ou seja, queremos
.
Passo 7
Usando a regra da probabilidade para “ou” de dois eventos independentes:
onde
é o evento
e
é
.
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar
e
. Como
e
têm a mesma distribuição,
. Vamos calcular
:
Transformamos a distribuição normal para a padronizada
:
Queremos
.
Convertendo para
:
Passo 9
Sabemos pela tabela da distribuição normal que:
Então,
E o mesmo vale para
.
Passo 10
Agora, aplicando na fórmula da união:
Resposta
A probabilidade de que um rolamento escolhido aleatoriamente tenha comprimento ou diâmetro que difiram dos valores médios em mais de
cm é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
O raio de um cilindro aumenta a uma taxa de
enquanto que a altura decresce a uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando seu raio é de 2 m e sua altura 1 m ?
Calcule o volume delimitado por
e
. Esboce o sólido.
Ache o volume do menor sólido delimitado por
e
. Esboce o sólido.
Determine os pontos máximo e mínimo absolutos de
para a região delimitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.