Uma fábrica produz rolamentos (de forma cilíndrica) que são vendidos como tendo de diâmetro e de comprimento. Na verdade, o diâmetro X tem distribuição normal com média e desvio-padrão , enquanto o comprimento tem distribuição normal com média e desvio-padrão . Supondo que X e Y sejam independentes, escreva a função densidade conjunta e faça seu gráfico. Determine a probabilidade de que um rolamento escolhido aleatoriamente da linha de produção tenha comprimento ou diâmetro que difiram dos valores médios em mais que .
Distribuição normal: , em que é a média e é o desvio-padrão. Veja Exemplo 8 - página 908 - Ed. 7 - do livro texto. Dica: Transforme a distribuição normal para distribuição normal padronizada, dessa forma será possível calcular a integral. Não faça
que nem o livro, isto é, não utilize um programa para calcular a integral, utilize técnicas que aprendemos na disciplina ou utilize tábuas de distribuições normais padronizadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre rolamentos que têm um diâmetro médio de 4,0 cm e comprimento médio de 6,0 cm. A gente sabe que tanto o diâmetro quanto o comprimento seguem uma distribuição normal, cada um com desvio-padrão de 0,01 cm. A nossa missão é escrever a função densidade conjunta desses dois, desenhar o gráfico e descobrir a probabilidade de que, ao escolher um rolamento aleatório, o diâmetro ou o comprimento difiram dos valores médios em mais de 0,02 cm. Para isso, vamos precisar saber sobre distribuições normais e como trabalhar com elas, incluindo transformação para a distribuição normal padronizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas variáveis são independentes, a função densidade conjunta é simplesmente o produto das funções densidade individuais. Então, temos:
Aqui, é a função densidade do diâmetro e é a função densidade do comprimento .

Passo 3

Vamos escrever explicitamente as funções densidade individuais usando a fórmula da distribuição normal:

Passo 4

Multiplicando essas duas funções, a densidade conjunta fica:
Isso nos dá a função densidade conjunta de e .

Passo 5

Agora, para fazer o gráfico dessa função densidade conjunta, imagine uma superfície em 3D onde os eixos e representam o diâmetro e o comprimento, respectivamente, e o eixo mostra a densidade. Como e são variáveis contínuas e independentes, o gráfico seria uma “colina” simétrica em torno dos pontos médios (4,0 cm para e 6,0 cm para ).

Passo 6

Vamos agora calcular a probabilidade de que o diâmetro ou o comprimento difiram dos valores médios em mais de 0,02 cm. Ou seja, queremos .

Passo 7

Usando a regra da probabilidade para “ou” de dois eventos independentes:
onde é o evento e é .

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar e . Como e têm a mesma distribuição, . Vamos calcular :
Transformamos a distribuição normal para a padronizada :
Queremos .
Convertendo para :

Passo 9

Sabemos pela tabela da distribuição normal que:
Então,
E o mesmo vale para .

Passo 10

Agora, aplicando na fórmula da união:

Resposta

A probabilidade de que um rolamento escolhido aleatoriamente tenha comprimento ou diâmetro que difiram dos valores médios em mais de cm é aproximadamente .

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