Esboce o sólido V e calcule a seguinte integral em coordenadas cilíndricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar o sólido
e calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A matéria envolvida aqui são integrais múltiplas e mudança de coordenadas, especialmente coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter a integral dada de coordenadas cartesianas para cilíndricas e depois calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido
. As integrais dadas têm os limites:
-
vai de a , -
vai de a , -
vai de a .
Isso descreve um cilindro circular de raio
no plano
com altura
no eixo
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. As relações são:
-
, -
, -
.
O elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Vamos reescrever os limites de integração:
-
varia de a (o raio do cilindro), -
varia de a (uma volta completa), -
varia de a (altura do cilindro).
Passo 5
A integral original é:
Em coordenadas cilíndricas, fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro. Como a função
não depende de
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Fatorando o 2:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
. Use a substituição
, então
ou
:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos máximo e mínimo absolutos de
para a região delimitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.
Ache o volume do menor sólido delimitado por
e
. Esboce o sólido.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos (e sua localização) de
para a região delimitada pelas curvas
e
.
Encontre a derivada de: