Esboce o sólido V e calcule a seguinte integral em coordenadas cilíndricas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar o sólido e calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A matéria envolvida aqui são integrais múltiplas e mudança de coordenadas, especialmente coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter a integral dada de coordenadas cartesianas para cilíndricas e depois calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido . As integrais dadas têm os limites:
  • vai de a ,
  • vai de a ,
  • vai de a .
Isso descreve um cilindro circular de raio no plano com altura no eixo .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. As relações são:
  • ,
  • ,
  • .
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos reescrever os limites de integração:
  • varia de a (o raio do cilindro),
  • varia de a (uma volta completa),
  • varia de a (altura do cilindro).

Passo 5

A integral original é:
Em coordenadas cilíndricas, fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro. Como a função não depende de :

Passo 7

Agora, a integral fica:
Fatorando o 2:

Passo 8

Vamos resolver a integral em . Use a substituição , então ou :

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

A integral vale .

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