Esboce o sólido V e calcule a seguinte integral em coordenadas cilíndricas
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral0^2 e^(x^2+y^2) d V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar o sólido e calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A matéria envolvida aqui são integrais múltiplas e mudança de coordenadas, especialmente coordenadas cilíndricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter a integral dada de coordenadas cartesianas para cilíndricas e depois calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido . As integrais dadas têm os limites:
  • vai de a ,
  • vai de a ,
  • vai de a .
Isso descreve um cilindro circular de raio no plano com altura no eixo .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. As relações são:
  • ,
  • ,
  • .
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos reescrever os limites de integração:
  • varia de a (o raio do cilindro),
  • varia de a (uma volta completa),
  • varia de a (altura do cilindro).

Passo 5

A integral original é:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral0^2 e^x^2+y^2 , dz , dy , dx
Em coordenadas cilíndricas, fica:
integral0^2pi integral0^2 integral0^2 e^r^2 cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral0^2 e^r^2 cdot r , dz = e^r^2 cdot r cdot (2 - 0) = 2r e^r^2 primeiro. Como a função não depende de :

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 2r e^r^2 , dr , dtheta
Fatorando o 2:
2 integral0^2pi integral0^2 r e^r^2 , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral em integral0^2 r e^r^2 , dr = 12 integral0^4 e^u , du = 12 ( e^4 - e^0 ) = 12 ( e^4 - 1 ) . Use a substituição , então ou :

Passo 9

Substituindo de volta:
2 integral0^2pi ( 12 ( e^4 - 1 ) ) dtheta = ( e^4 - 1 ) integral0^2pi dtheta = ( e^4 - 1 ) cdot 2pi

Resposta

A integral vale .

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