O raio de um cilindro aumenta a uma taxa de 1 m/s enquanto que a altura decresce a uma taxa de 3 m/s. Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando seu raio é de 2 m e sua altura 1 m ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como o raio de um cilindro está aumentando e a altura está diminuindo ao mesmo tempo. A gente precisa descobrir como o volume desse cilindro está mudando nesse momento específico. Para isso, vamos usar o cálculo das taxas de variação, que faz parte da matéria de Derivadas Relacionadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. Ela é bem simples:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio,
  • é a altura,
  • é uma constante (aproximadamente 3,14).

Passo 3

Agora, para descobrir como o volume está mudando no tempo ( ), a gente deriva a fórmula do volume em relação ao tempo. Usamos a regra do produto aqui, já que e estão ambos mudando com o tempo:
Explicando:
  • vem da derivada de multiplicada por ,
  • vem da derivada de multiplicada por .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem:
  • m,
  • m,
  • m/s (aumento),
  • m/s (diminuição).
Substituindo na equação:

Resposta

A taxa de variação do volume do cilindro nesse instante é de .

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