O raio de um cilindro aumenta a uma taxa de
enquanto que a altura decresce a uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando seu raio é de 2 m e sua altura 1 m ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como o raio de um cilindro está aumentando e a altura está diminuindo ao mesmo tempo. A gente precisa descobrir como o volume desse cilindro está mudando nesse momento específico. Para isso, vamos usar o cálculo das taxas de variação, que faz parte da matéria de Derivadas Relacionadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. Ela é bem simples:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio, -
é a altura, -
é uma constante (aproximadamente 3,14).
Passo 3
Agora, para descobrir como o volume está mudando no tempo (
), a gente deriva a fórmula do volume em relação ao tempo. Usamos a regra do produto aqui, já que
e
estão ambos mudando com o tempo:
Explicando:
-
vem da derivada de multiplicada por , -
vem da derivada de multiplicada por .
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que a gente tem:
-
m, -
m, -
m/s (aumento), -
m/s (diminuição).
Substituindo na equação:
Resposta
A taxa de variação do volume do cilindro nesse instante é de
.