O raio de um cilindro aumenta a uma taxa de enquanto que a altura decresce a uma taxa de . Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando seu raio é de 2 m e sua altura 1 m ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como o raio de um cilindro está aumentando e a altura está diminuindo ao mesmo tempo. A gente precisa descobrir como o volume desse cilindro está mudando nesse momento específico. Para isso, vamos usar o cálculo das taxas de variação, que faz parte da matéria de Derivadas Relacionadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. Ela é bem simples:
Onde:
- é o volume,
- é o raio,
- é a altura,
- é uma constante (aproximadamente 3,14).
Passo 3
Agora, para descobrir como o volume está mudando no tempo ( ), a gente deriva a fórmula do volume em relação ao tempo. Usamos a regra do produto aqui, já que e estão ambos mudando com o tempo:
Explicando:
- vem da derivada de multiplicada por ,
- vem da derivada de multiplicada por .
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que a gente tem:
- m,
- m,
- m/s (aumento),
- m/s (diminuição).
Substituindo na equação:
Resposta
A taxa de variação do volume do cilindro nesse instante é de .
Exercícios relacionados
Calcule o volume delimitado por e . Esboce o sólido.
Calcule e
Uma fábrica produz rolamentos (de forma cilíndrica) que são vendidos como tendo de diâmetro e de comprimento. Na verdade, o diâmetro X tem distribuição normal com média e desvio-padrão , enquanto o comprimento tem distribuição normal com média e desvio-padrão . Supondo que X e Y sejam independentes, escreva a função densidade conjunta e faça seu gráfico. Determine a probabilidade de que um rolamento escolhido aleatoriamente da linha de produção tenha comprimento ou diâmetro que difiram dos valores médios em mais que .
Distribuição normal: , em que é a média e é o desvio-padrão. Veja Exemplo 8 - página 908 - Ed. 7 - do livro texto. Dica: Transforme a distribuição normal para distribuição normal padronizada, dessa forma será possível calcular a integral. Não faça
que nem o livro, isto é, não utilize um programa para calcular a integral, utilize técnicas que aprendemos na disciplina ou utilize tábuas de distribuições normais padronizadas.
Ache o volume do menor sólido delimitado por e . Esboce o sólido.